Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
1) a) Ct(12) = 1/3×12³ -3×12² + 10×12 + 36 = 300
Le coût moyen par tonne est donc de 300/12 = 25 (milliers d'euros)
c) le coefficient directeur de (OM) se calcule par : (y(M) - y(O))/(x(M)-x(O))
donc (Ct(x)-Ct(0))/(x-0) = Ct(x)/x
Ct(x) étant le coût pour x tonnes, Ct(x)/x est le coût moyen par tonne
Le Coefficient directeur de (OM) est donc bien le coût moyen par tonne
Graphiquement,on lit effectivement que le coef directeur de (OM) pour x =12 est bien 25
d) On peut conjecturer que le coût moyen minimal est atteint pour x =6.Le coût moyen est alors de 10 (milliers d'euros), et la droite (OM) est tangente à la courbe représentative de C(x)
2) a) Cm(x) = Ct(x)/x = (1/3 x³ - 3x² + 10x + 36)/x = (x³ - 9x² + 30x + 108)/3x
b) Cm'(x) = [(3x²-18x+30)3x - 3(x³-9x²+30x+108)]/9x²
Cm'(x) = (6x³-27x²-324)/9x² = (2x³-9x²-108)/3x²
Cm'(x) = [(x-6)(2x²+3x+18)]/3x²
signe de Cm'(x) : 3x²>0 et 2x²+3x+18>0
le signe ne dépend que de x-6
SI x ∈[0;6] , Cm'(x) ≤ 0
Si x ∈[6;12] , Cm'(x) ≥0
Donc Cm(x) est décroissante sur [0;6] et croissante sur [6;12]
La fonction Cm(x) a donc un minimum, atteint pour x = 6
Il faut donc fabriquer 6 tonnes d'encre pour que le coût moyen par tonne soit minimal( 10 000 euros)
