Réponse : Bonjour,
1) On a que [tex]u_{n}=f(n)[/tex], avec [tex]f(x)=\frac{2x}{x+1}[/tex].
Pour étudier les variations de f, il faut calculer la dérivée f':
[tex]f'(x)=\frac{2(x+1)-2x}{(x+1)^{2}}=\frac{2x+2-2x}{(x+1)^{2}}=\frac{2}{(x+1)^{2}}[/tex].
Pour x positif, on a que f'(x) > 0, donc f est croissante sur [0;+∞[.
La suite [tex](u_{n})[/tex] est donc croissante.
2) On a que:
[tex]\lim_{n \mapsto +\infty} u_{n}=\lim_{n \mapsto +\infty} f(n)[/tex].
De plus:
[tex]f(n)=\frac{2n}{n+1}=\frac{2n}{n(1+\frac{1}{n})}=\frac{2}{1+\frac{1}{n}}[/tex]
Or [tex]\lim_{n \mapsto +\infty} (1+\frac{1}{n})=1[/tex], donc [tex]\lim_{n \mapsto +\infty} f(n)=2[/tex].
Par suite, [tex]\lim_{n \mapsto +\infty} u_{n}=2[/tex].
