Bonjour ;
1.
(n² + n + 1)(n² - n + 1)
= n^4 - n³ + n² + n³ + - n² + n + n² - n + 1
= n^4 + n² + 1 .
2.
Pour n = 0 , on a : n^4 + n² + 1 = 0^4 + 0² + 1 = 1
qui n'est pas un nombre premier .
Pour n = 1 , on a : n^4 + n² + 1 = 1^4 + 1² + 1
= 1 + 1 + 1 = 3 qui est un nombre premier .
Pour n ≥ 2 ; on a : n² + n + 1 ≥ 2² + 2 + 1 = 7 ;
et : n² - n + 1 ≥ 2² - 2 + 1 = 3 ;
donc : n^4 + n² + 1 = (n² + n + 1)(n² - n + 1)
est un produit de deux facteurs supérieurs
strictement à 2 ; donc il n'est pas un nombre premier .
Conclusion :
n^4 + n² + 1 est premier seulement pour n = 1 .
