Réponse :
Explications étape par étape
Bonjour,
On se rappelle qu'une fonction est une "boite noire" dans laquelle on introduit des nombres (des valeurs de x) et qu'à la sortie de cette boite noire, on obtient des valeurs appelées images (notées y ou f(x),g(x),etc...) et dont la "lecture" sur le graphique se fait sur l'axe des Y (vertical). L'expression mathématique est la fonction.Elle traduit "comment" est transformée la valeur de x pour pour en obtenir son image.
Tout ce qui se trouve "au-dessus" de l'axe horizontal sur l'axe des y est donc positif (en dessous, le signe est négatif).
La courbe qui coupe l'axe des x aura pour image f(x) ou g(x) = 0 à la valeur x.
1.
f(x) = -1 = -4/(x²+1) → -(x²+1) = -4 → -x² - 1 = -4 → x² = 3 → x = √3 et x = -√3
Sur le graphe, tu peux voir que à la valeur y=-1 (la parallèle à l'axe des x qui passe par -1) , il existe 2 valeurs de x de la courbe Cf
2.
a.f(x)=g(x) cela signifie que graphiquement les 2 courbes doivent avoir les mêmes images (mêmes valeurs de y). Les courbes se coupent en 3 points:
un point en y = -3.5 environ et qui correspond à x = -0.5
un point en y = -2 et qui correspond à x = 1
un point en y = -0.5 environ et qui correspond à x = 2.5
b. Développe le membre de droite en distribuant. Tu dois retrouver l'expression du membre à gauche de l'égalité
c.f(x) = g(x) donc -4/(x²+1) = x-3 → (x²+1)(x-3) = -4 → x³-3x²+x-3=-4 → x³-3x²+x+1=0
En reprenant le point 2b, on a (x-1)((x-1)²-2)=0
donc dans un produit a*b = 0 soit a=0 ou b=0
donc x-1 = 0 x=1
(x-1)²-2=0 donc x-1 = -√2 ou x-1 = √2 donc x= (1-√2) ou x =(1+√2)
2.d
Il faut que l'image de f(x)<g(x). Il faut regarder les valeurs de x pour lesquelles la courbe f(x) se trouve "en-dessous" de la courbe g(x)
La solution est donc S = ]-0.5;1[ ∪ ]2.5;+∞[
3.
a.(x²+1) est toujours positif quelle que soit la valeur de x or le numérateur est -4 donc le signe "-" multiplié par "+" sera toujours négatif. Tu peux voir sur le graphe que les valeurs de f(x) ne dépassent jamais l'axe horizontal .
b.
Sur le graphe, la valeur minimale est de f(x) est f(x)=-4 pour la valeur de x=0
c.
Il faut faire la dérivée
d.
On voit que pour f(x) = 0 il y a une infinité de valeurs de x mais que plus ces valeurs de x tendent vers +∞ ou - ∞ plus on se rapproche de f(x)=0 mais on n'atteint PAS la valeur f(x)=0
Voilà, je t'ai donné une façon de réfléchir. Essaie de bien relire ce que j'ai écrit et de comprendre par toi-même.
Bonne continuation.
:-)
