Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape
1) Variation de U(n)
[tex]n >0 \Longrightarrow\ u_n=\dfrac{1}{n(n+1)}\ >\ 0\\\\\\u_{n+1}-u_{n}\\\\=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}-\dfrac{1}{n(n+1)}\\\\=\dfrac{n-(n+2)}{n(n+1)(n+2)}\\\\=-\dfrac{2}{n(n+1)(n+2)} < 0[/tex]
La suite est décroissante mais minorée par 0.
2a)
[tex]u_n=\dfrac{1}{n(n+1)} =\dfrac{1+n-n}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\\[/tex]
2b)
[tex]p \geq 1,\\\\S_p=u_1+u_2+u_3+...+u_p\\\\=\sum_{i=1}^p\ u_i\\\\=\sum_{i=1}^p\ \dfrac{1}{i(i+1)} \\\\=\sum_{i=1}^p\ \dfrac{1}{i} - \sum_{i=1}^p\ \dfrac{1}{i+1} \\\\=1+=\sum_{i=2}^p\ \dfrac{1}{i}-\sum_{i=1}^{p-1}\ \dfrac{1}{i+1} -\dfrac{1}{p+1} \\\\=1+=\sum_{i=2}^p\ \dfrac{1}{i}-\sum_{j=2}^{p}\ \dfrac{1}{j} -\dfrac{1}{p+1} \\\\\\\boxed{S_p=1-\dfrac{1}{p+1}}\\[/tex]
c)
[tex]S=1+\sum_{i=1}^{999}\dfrac{1}{i(i+1)}\\\\=1+1-\dfrac{1}{1000}\\\\=1.999\\[/tex]
