Sagot :
Bonjour ;
1.
a.
On a : lim(x-->0+) ln(x) = - ∞ et lim(x-->0+) 1 - x² = 1 ;
donc : lim(x-->0+) g(x) = + ∞ .
On a : lim(x-->+∞) 1 - x² = - ∞ et lim(x-->+∞) ln(x) = + ∞ ;
donc : lim(x-->+∞) g(x) = - ∞ .
b.
g ' (x) = (1 - x² - ln(x)) ' = (1) ' - (x²) ' - (ln(x)) '
= 0 - 2x - 1/x = - 2x - 1/x = - (2x² + 1)/x .
c.
On a : x > 0 et 2x² + 1 > 1 ; donc (2x² + 1)/x > 0 ;
donc : - (2x² + 1)/x < 0 ; donc g ' (x) < 0 ;
donc g est strictement décroissante sur ]0 ; + ∞[ .
Réponse :
suite de l'exercice
Explications étape par étape
fin de la partie A:
2a)on note que x=1 est une solution évidente de g(x)=0
2b) Compte tenu que g(x) est continue et monotone et varie de -oo à+oo, d'après le TVI il y a une et une seule valeur de x telle que g(x)=0; x=1 est donc la solution unique ce qui nous permet de dire que g(x) est>0 sur [0; +1[ et g(x) < 0 sur ]1;+oo[.
PartieB
f(x)=(lnx)/x+2-x sur ]0;+oo[
limites si x tend vers 0+ , (lnx)/x tend vers-oo donc f(x) tend vers-oo
si x tend vers +oo , (lnx)/x tend vers 0 donc f(x) tend vers-oo
dérivée
f'(x)=[(1/x)*x-lnx]/x² -1=(-x²-lnx+1)/x² soit g(x)/x²
le signe de cette dérivée dépend uniquement du signe de g(x)
Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x 0 1 +oo
f'(x)............+..................0................-.....................
f(x) II-oo.......croi...........f(1)........décroi............-oo
f(1)=0/1+2-1=1
la droite d'équation x=0 est une asymptote verticale et on note que f(x)=0 admet deux solutions que l'on pourrait déterminer par encadrement (non demandées)