Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
1)
a)
En vecteurs :
ST=SD+DE+ET
ST=-1/2DF+DE+1/3EF
ST=-1/2DF+DE+1/3(ED+DF)
ST=-1/2DF+DE+1/3ED+1/3DF
ST=-3/6DF+3/3DE-1/3DE+2/6DF
ST=(2/3)DE-(1/6)DF
FR=FD+DR
FR=-DF+4DE
FR=4DE-DF
b)
(1/6)FR=4(1/6)DE-(1/6)DF
(1/6)FR=(2/3)DE-(1/6)DF
Donc :
ST=(1/6)FR
qui prouve que les droites (ST) et (FR) sont //.
2)
b)
On cherche les coordonnées des vecteurs DE et DF de cette mamnière :
DE(xE-xD;yE-yD)
DE(1;-3)
DR=4DE donc :
DR(4;-12)--->(1)
Soit R(x;y)
DR(x+2;y-4)--->(2)
(1) et (2) donnent:
x+2=4 et y-4=-12
x=2 et y=-8
R(2;-8)
DS=1/2DF donc :
S est le milieu de [DF] .
Donc :
S((-2+5)/2;(4+4)/2)
S(3/2;4)
EF(6;3)
ET=1/3EF
ET(2;1)-->(3)
Soit T(x;y)
ET(x+1;y-1)--->(4)
(3) et ( 4) donnent :
x+1=2 et y-1=1
x=1 et y=2
T(1;5)
c)
On a :
D(-2;4) et R(2;-8)
Coordonnées du milieu de [DR]((-2+2)/2;(4-8)/2)) soit (0;-2) qui sont bien les coordonnées de K.
d)
On va montrer que les vecteurs St et TK sont colinéaires .
ST(1-3/2;2-4)
ST(-1/2;-2)--->(5)
TK(0-1;-2-2)
TK(-1;-4)
(1/2)TK(-1/2;-2)--->(6)
ST=(1/2)TK
qui prouve que les points S , T et K sont alignés.
