Réponse :
Bonjour, je reconnais que pour un(e) Term L les maths c'est peut-être un peu compliqué, mais les fautes de grammaire en français c'est inadmissible (pouvait; ..qui me répondent ou répondront; la photo...est.. ).
Explications étape par étape
f(x)=(-5x²+5)e^x sur [-5; 2]
1a) les coordonnées de A sont (0; f(0)) soit A (0;5)
1b) les abscisses des point d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses sont les solutions de f(x)=0
soit les solutions de (-5x²+5)=0 car e^x est tjrs>0
5(-x²+1)=0 solutions x=-1 et x=1
1c) Dérivée f(x) est une fonction produit u*v sa dérivée est donc u'v+v'u avec u=-5x²+5 u'=-10x et v=e^x v'=e^x
f'(x)=-10x(e^x)+(e^x) (-5x²+5)=(e^x)(-5x²-10x+5)
1d) f'(x)=0 pour -5x²-10x+5=0 delta=100+100=200; V200=10V2
f'(x)=0 pour x1=(10+10V2)/(-10)=-1-V2 et x2=-1+V2
Tableau
x -5 x1 x2 +2
f'(x) ..............-...........0...................+..................0...............-..................
f(x) f(-5).....décroi....f(x1)..........croi..............f(x2)...........décroi........f(2)
Calcule f(-5)=....f(x1)=.......f(x2)=..... et f(2)=........ (calcultte ou calcul mental)
2a) tangente (D) au point d'abscisse x=0
y=f'(0)(x-0)+f(0) formule à connaître
y=5(x-0)+5=5x+5 (à savoir e^0=1)
2b) (D) passe par les point A(0;5) et B(-1;0) trace la.
3a)le logiciel inutile!
3b) la dérivée seconde de f(x) est obtenue en dérivant f'(x) avec la même méthode que pour f(x)
f"(x)=(10x-10)(e^x)+(e^x)(-5x²-10x+5)=(e^x)(-5x²-20x-5)
Les solutions de f"(x)=0 sont les valeurs de x pour les quelles la courbue de f(x) va changer de sens
f"(x)=0 si -5x²-20x-5=0 delta=400-100=300; Vdelta=10V3
solutions x3=(20+10V3)/(-10)=-2-V3 et x4=-2+V3
signes de f"(x)
x -5 x3 x4 2
f"(x)...........-...........0............+....................0................-.................
conclusion sur [5;x3[ la courbe est concave sur ]x3; x4[ elle est convexe et sur ]x4; 2[ elle est concave.
4a) Hachure ce qui est compris entre la courbe et les axes du repère sur l'intervalle x allant de -1 à 0.
4b) tu constates que la droite (D) passe comme la coube par les point A et B mais elle est au dessus de la courbe tu peux donc en déduire que l'aire hachurée est < à l'aire du triangle OAB.
l'aire OAB=1*5/2=2,5 u.a. l'aire hachurée est donc légèrement <2,5u.a.
4c)pour vérifier que F(x)=(-5x²+10x-5)e^x est une primitive de f(x) il suffit de dérivée F(x) pour voir si on retrouve f(x)
F'(x)=(-10x+10)(e^x)+(e^x)(-5x²+10x-5)=(e^x)(-5x²+5) soit f(x)
4d) il reste à calculer l'intégrale de -1 à 0 de f(x)dx
soit F(0)-F(-1)=-5+20/e (valeur exacte) =2,36 u.a (environ)