Soit g la fonction definie sur R par g(x) = mx³-2x²+x-5 où m est un nombre réel et Cg sa courbe représentative dans un repère du plan.

1. On suppose que m=1.
Montrer que, dans ce cas, la courbe Cg admet exactement deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses, en deux points dont on déterminera les abscisses.

2. Pour quelle valeur m la courbe Cg admet-elle une unique tangente parallèle à l'axe des abscisses ?

Merci pour votre aide.

Les tangentes horizontales ont un coefficient directeur=0 donc les points où ces tangentes (si elles existent) sont horizontales sont les solutions de g'(x)=0 soit de 3x²-4x+1=0

delta=4 x1=(4-2)/6=1/3 et x2=(4+2)/6=1

2) g(x) admet une seule tangente horizontale si g'(x)=0 admet une seule solution ce qui veut dire que g'(x) est une identité remarquable

g'(x)=3mx²-4x+1 donc m=4/3

vérification g(x)=(4/3)x³-2x²+x-5

g'(x)=4x²-4x+1= (2x-1)² g'(x)=0 admet une seule solution x=1/2

On peut aussi en déduire que g'(x) est tjrs> ou=0 donc g(x) est croissante sur R et le pint de Cg d'abscisse x=1/2 est un point d'inflexion (la coubure de Cg change de sens)

Sagot :

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