Réponse : Bonjour,
1)2) [tex]a_{1}[/tex] est la longueur du demi-cercle de rayon 1 cm, donc [tex]a_{1}=\frac{2 \pi 1}{2}=\pi[/tex].
[tex]a_{2}[/tex] est la longueur du demi-cercle de rayon [tex]\frac{3}{2}[/tex]=1,5 cm, donc [tex]a_{2}=\frac{2 \pi \frac{3}{2}}{2}=\frac{3\pi}{2}[/tex];
De manière générale, le diamètre du demi-cercle de longueur [tex]a_{n}[/tex] est égale à n-1, pour tout [tex]n \geq 1[/tex], donc le rayon de [tex]a_{n}[/tex] est égal à [tex]\frac{n-1}{2}[/tex].
Exprimons [tex]a_{n}[/tex] en fonction de [tex]a_{n-1}[/tex].
On a:
[tex]a_{n}=\frac{2\pi \frac{n-1}{2}}{2}=\frac{(n-1)\pi}{2}\\a_{n-1}=\frac{2\pi\frac{n-1-1}{2}}{2}=\frac{(n-2)\pi}{2}[/tex].
On calcule la différence [tex]a_{n}-a_{n-1}[/tex] pour tout [tex]n \geq 1[/tex]:
[tex]a_{n}-a_{n-1}=\frac{(n-1)\pi}{2}-\frac{(n-2)\pi}{2}=\frac{n\pi-\pi-n\pi+2\pi}{2}=\frac{\pi}{2}[/tex].
Donc pour tout [tex]n \geq 1, a_{n}-a_{n-1}=\frac{\pi}{2}[/tex], on en déduit que la suite [tex](a_{n})[/tex] est une suite arithmétique de raison [tex]r=\frac{\pi}{2}[/tex], et de premier terme [tex]a_{1}=\pi[/tex].
3) Il faut déterminer le plus petit entier n tel que [tex]a_{n} > 25[/tex]:
[tex]a_{n} > 25\\\pi +(n-1)\frac{\pi}{2} > 25\\\pi+\frac{n\pi}{2}-\frac{\pi}{2} > 25\\ \frac{n\pi}{2} > 25-\frac{\pi}{2}\\n > \frac{25-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}=25 \times \frac{2}{\pi}-1=\frac{50}{\pi}-1=\frac{50-\pi}{\pi} \approx 14,9[/tex]
Donc à partir de n=15, on peut obtenir un demi-cercle dont la longueur est supérieure à 25 cm.
Vérification: [tex]a_{15}=\pi+(15-1)\frac{\pi}{2}=\pi+\frac{14\pi}{2}=\pi+7\pi=8\pi \approx 25,1 \; cm[/tex].
Donc pour n=15, on obtient bien un demi-cercle dont la longueur est supérieure à 25 cm.