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bonsoir pouvez vous m'aidez à resoudre cet ex et mrc
1- Soit g la fonction définie sur R par: g()= -2+(2 - x)e^(x).
1- Calculer lim g(x) et lim g(x).(+/- infini)
2- Etudier les variations de g sur R puis dresser son tableau de variation.
3- Mq l'équation g(x)=0 admet deux solutions dans R dont l'une est o telle que l<a<2.
4- Dresser un tableau de signe de la fonction g.​

Sagot :

Réponse :

Exercice sans difficulté particulière.

Explications étape par étape

g(x)=-2+(2-x)e^x cette fonction est définie sur R

1) limites si x tend vers-oo,  e^x tend vers 0 donc (2-x)e^x tend vers 0 (car la limite de xe^x en -oo est 0 cours) donc g(x) tend vers -2

si x tend vers +oo , 2-x tend vers -oo , e^x tend vers +oo donc g(x) tend vers (-oo)*(+oo)=-oo

3) Dérivée g'(x)=-1(e^x)+(e^x) (2-x)=(e^x) (1-x)

g'(x)=0 pour x=1

Tableau de signes de g'(x) et de variations de g(x)

x   -oo                                     1                                                +oo

g'(x).................+..........................0...........................-............................

g(x)  -2.........croi.......................g(1)................décroi.......................-oo

g(1)=-2+(2-1)e=e-2   cette valeur est>0   (0,7 environ)

D'après le TVI il existe deux valeurs alpha et béta telles que g(alhpa)=g(béta)=0

l'une sur ]-oo; 1[ qui est  alpha=0 (solution évidente)

l'autre sur ]1; +oo[ qui est béta comprise entre 1 et 2

car g(1)=0,7 environ  et g(2)=-2 tu détermine cette valeur avec plus de précision avec ta calculette par encadrement. Comme on ne te la demande pas limite toi au 1/10 près.

4)signes de g(x)

x   -oo                            0                               beta                              +oo

g(x)..............-.....................0....................+.................0.................-...................