Sagot :
Réponse :
Exercice sans difficulté particulière.
Explications étape par étape
g(x)=-2+(2-x)e^x cette fonction est définie sur R
1) limites si x tend vers-oo, e^x tend vers 0 donc (2-x)e^x tend vers 0 (car la limite de xe^x en -oo est 0 cours) donc g(x) tend vers -2
si x tend vers +oo , 2-x tend vers -oo , e^x tend vers +oo donc g(x) tend vers (-oo)*(+oo)=-oo
3) Dérivée g'(x)=-1(e^x)+(e^x) (2-x)=(e^x) (1-x)
g'(x)=0 pour x=1
Tableau de signes de g'(x) et de variations de g(x)
x -oo 1 +oo
g'(x).................+..........................0...........................-............................
g(x) -2.........croi.......................g(1)................décroi.......................-oo
g(1)=-2+(2-1)e=e-2 cette valeur est>0 (0,7 environ)
D'après le TVI il existe deux valeurs alpha et béta telles que g(alhpa)=g(béta)=0
l'une sur ]-oo; 1[ qui est alpha=0 (solution évidente)
l'autre sur ]1; +oo[ qui est béta comprise entre 1 et 2
car g(1)=0,7 environ et g(2)=-2 tu détermine cette valeur avec plus de précision avec ta calculette par encadrement. Comme on ne te la demande pas limite toi au 1/10 près.
4)signes de g(x)
x -oo 0 beta +oo
g(x)..............-.....................0....................+.................0.................-...................
