Sagot :
bonjour
c'est en effet un exo d'application de la formule d'Al Kashi
I 1) calcul de l'angle en A
BC² = AB² + AC² - 2*AB*AC*cosA <=> cosA = (AB²+AC²-BC²)/(2AB*AC) = env. 0.14
arccos => angle en A = env 81.8°
pour l'angle en B
AC²= AB² + BC² - 2*AB*BC*cosB <=> cosB = (AB²+BC²-AC²)/(2AB*BC) = 0.5
B (chapeau) = 60°
pour C, tu peux faire le mm calcul - pour controle, mais le plus simple est
angle en C = 180- angle en A - angle en B = enc. 38.2°
2) médiane issue de A
soit M milieu de [BC] : BM = 3.2/2 = 1.6
Al Kashi :
AM² = AB² + BM² - 2 * AB * BM * cos(60) <=>
AM = env. 1.83
soit H le pied de la hauteur issue de A
considère les 2 tr. rect. AHB et AHC, et applique Pythagore
AHB : AB² = AH² + HB² <=> AH² = AB²-HB²
AHC : AC² = AH² + HC² <=> AC² = AB²-HB²+HC²
or HC = BC-HB
donc AC² = AB²-HB²+ (BC-HB)²
développe, réduis, remplace par les valeurs, calcule
j'arrive à AH = env. 1.99cm
II 1) Al Kashi encore
BC² = AB² + AC² - 2*vectAB . vectAC
AC² = AB² + BC² - 2*vectBA . vectBC
--------------------------------------------- addition membre à membre, puis simplification
AB² = vecteu(AB).vecteur(AC)+vecteur(BA).vecteur(BC)
BC² = AB² + AC² - 2*AB*AC*cos(A)
AC² = AB² + BC² - 2*BA*BC*cos(B)
--------------------------------------------- addition membre à membre, puis simplification
AB = AC*cos(A)+ BC*cos(B) <=> c= b cosA+a cosB
2) fais de mm pour les autres, on trouve
a= b cosC+c cosB
b= a cosC+c cosA
c= b cosA+a cosB
------------------------ addition membre à membre, puis factorisation
a+b+c= (b+c)cosA+(a+c)cosB+(a+b)cosC
je pense que tu peux terminer.
1) BC^2=AB^2+AC^2-2AB*AC cos A
cosA=(AB^2+AC^2-BC^2)/2AB*AC
A==> 81,8°
AB^2=AC^2+BC^2-2AC*BCcos C
cosC=(AC^2+BC^2-AB^2)/2AC*BC=
C==> 38,2°
B=180-(81,8+38,2)=60°
hauteur issue de A=AH
aire =(1/2)BC*BA*sin60=(1/2)BC*BA*√3/2
aire =(1/2)*AH*BC =(1/2)BC*BA*√3/2
==> AH=√3
médiane issue de A =AI I milieu de [BC]
théorème de la médiane
AB^2+AC^2=2AI^2+BC^2/2
AI^2=(AB^2+AC^2-BC^2/2)/2
AI≥0
AI=√3,36
AI=1,83…cm
II
1):vecteur(AB).vecteur(AC)+vecteur(BA).vecteur(BC)=vAB.VAC-vAB.vBC=vAB(vAC-vBC)=vAB*(vAC+vCB)=vAB.vAB=AB^2
vecteu(AB).vecteur(AC)+vecteur(BA).vecteur(BC) =AB.AC cos A+BA.BC cosB=AB^2
AB≠0
ACcosA+BCcos B=AB
==> bcosA+a cosB=c
2)
de même on démontre que
a=b.cos C+c.cos B
b=a.cos C+c cos A
==> on addition et on factorise
a+b+c= (b+c)cosA+(a+c)cosB+(a+b)cosC
a=b.cos C+c.cos B==>a^2=abcos C +ac.cos B
b=a.cos C+c cos A==>b^2=abcos C+bc .cos A
c= bcosA+a cosB==> c^2=bccos A+ac.cosB
==> a^2+b^2+c^2=abcos C +ac.cos B+abcos C+bc .cos A+bccos A+ac.cosB=2(bc.cosA+ac.cos B+ ab.cos C)
3)
2(bc.cosA+ac.cos B+ ab.cos C)/(2abc)=(cosA/a )+(cosB/b)+(cos C/c)=(a^2+b^2+c^2)/(2abc)
