Réponse: Bonjour,
1) [tex]\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CI}=(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}).(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DI})=\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{DI}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{DI}\\ \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CI}=0+||\overrightarrow{CB}|| \times ||\overrightarrow{DI}||+||\overrightarrow{BA}|| \times ||\overrightarrow{CD}||+0=1 \times \frac{1}{2}+1 \times 1=\frac{3}{2}[/tex].
2) On calcule d'abord CA.
On considère le triangle CAD rectangle en D.
D'après le théorème de Pythagore:
[tex]CA^{2}=CD^{2}+DA^{2}=1^{2}+1^{2}=1+1=2\\CA=\sqrt{2}[/tex].
On calcule maintenant CI.
On considère le triangle CDI rectangle en D.
D'après le théorème de Pythagore:
[tex]CI^{2}=CD^{2}+DI^{2}=1^{2}+(\frac{1}{2})^{2}=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}\\CI=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}[/tex].
3) On a:
[tex]\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CI}=||\overrightarrow{CA}|| \times ||\overrightarrow{CI}|| \times \cos(\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CI})=\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{5}}{2} \times \cos(\widehat{ACI})=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \times \cos(\widehat{ACI})[/tex].
Or d'après la question 1):
[tex]\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CI}=\frac{3}{2}[/tex].
Donc:
[tex]\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \times \cos(\widehat{ACI})=\frac{3}{2}\\ \cos(\widehat{ACI})=\frac{3}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{2} \times \sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{10}}[/tex].
4) On a:
[tex]\widehat{ACI}=\cos^{-1}(\frac{3}{\sqrt{10}}) \approx 18,4 \°[/tex].
