Bonjour ;
1.
On a : cos(2x) = cos(x + x) = cos(x) cos(x) - sin(x) sin(x) = cos²(x) - sin²(x) .
On a donc : cos(2x) = cos²(x) - sin²(x) = cos²(x) - (1 - cos²(x))
= cos²(x) - 1 + cos²(x) = 2cos²(x) - 1 ;
donc : 2cos²(x) = 1 + cos(2x) ;
donc : cos²(x) = (1 + cos(2x))/2 .
2.
cos²(π/8) = (1 + cos(2 * π/8))/2 = (1 + cos(π/4)/2
= (1 + (√2)/2)/2 = (2 + √2)/4 .
3.
On a : 0 < π/8 < π/2 ; donc : 0 < cos(π/8) et 0 < sin(π/8) ;
donc : cos(π/8) = √((2 + √2)/4) = (√(2 + √2))/2 .
On a : cos²(π/8) = (2 + √2)/4 ;
donc : 1 - sin²(π/8) = (2 + √2)/4 ;
donc : sin²(π/8) = 1 - (2 + √2)/4
= (4 - 2 - √2)/4 = (2 - √2)/4 ;
donc : sin(π/8) = √((2 - √2)/4) = (√(2 - √2))/2 .
