Bonsoir,
1. Étant donné que x est une longueur et ne peut pas dépasser la moitié de la largeur de la boîte (il faut faire le pli des deux côtés), x∈[0;25/2].
2. La boîte est un parallélépipède donc son volume est donné par
V = hauteur * longueur * largeur. Or par construction
- longueur = 40 - 2x (longueur de la boîte moins les deux carrés)
- largeur = 25 - 2x (pareil mais pour la largeur)
- hauteur = x (le carré replié vers le haut)
Donc V = x(40-2x)(25-2x) = x(1000-130x+4x²) = 4x³-130x²+1000x pour tout x∈[0,25].
3. Pour tout x∈[0;25], V'(x) = 12x²-260x+1000 et le discriminant vaut
Δ = 260²-4*12*1000=19600=140²
donc
V'(x) = 0 ⇔ x = (260 - 140)/(2*12) = 5 ou x = (260 + 140)/(2*12) = 50/3 > 25/2.
Donc V' est négative sur [5;50/3] (donc sur [5;25/2]) et positive sur [0;5]. Par conséquent, V est
- croissante sur [0;5]
- décroissante sur [5;25/2]
Le maximum de V est donc atteint pour x = 5. Les dimensions de la boîte sont donc (en reprenant les expressions de la question 2) de
30 cm x 15 cm x 5 cm.
