Réponse : Bonsoir,
Exercice 88
1) La courbe représentative de f passe par le point A(6;-1), on en déduit que f(6)=-1.
La tangente en f au point A, a pour coefficient directeur 2, donc f'(6)=2.
On a donc:
[tex]f(6)=-1 \Rightarrow a \times 6^{2}+b \times 6+5=-1 \Leftrightarrow 36a+6b+5=-1 \\ \Leftrightarrow 36a+6b=-6 \Leftrightarrow 6a+b=-1 \; en \; divisant \; par \; 6 \; des \; deux \; cotes \; de \; lequation\\On \; a \; f''(x)=2ax+b \\f'(6)=2 \Rightarrow 2a \times 6+b=2 \Leftrightarrow 12a+b=2[/tex].
Donc a et b sont solutions du système:
[tex]\left \{ {{6a+b=-1} \atop {12a+b=2}} \right.[/tex].
2) Résolvons ce système:
[tex]\left \{ {{6a+b=-1} \atop {12a+b=2}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{b=-1-6a} \atop {12a-1-6a=2}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{b=-1-6a} \atop {6a=3}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{b=-1-\frac{6}{2}} \atop {a=\frac{1}{2}}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{b=-4} \atop {a=\frac{1}{2}}} \right.[/tex].
Donc [tex]f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-4x+5[/tex].
Exercice 89
1) Pour m=1, [tex]g(x)=x^{3}-2x^{2}+x-5[/tex].
La courbe Cg a une tangente parallèle au point d'abscisse x, si et seulement si g'(x)=0.
Il nous faut donc résoudre ici l'équation g'(x)=0:
[tex]g'(x)=3x^{2}-4x+1\\g'(x)=0\\\Leftrightarrow 3x^{2}-4x+1=0\\\Delta=(-4)^{2}-4 \times 3 \times 1=16-12=4\\x_{1}=\frac{4-\sqrt{4}}{6}=\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3}\\x_{2}=\frac{4+\sqrt{4}}{6}=\frac{4+2}{6}=1[/tex].
Donc la courbe Cg admet deux tangentes parallèles, une au point d'abscisse [tex]x=\frac{1}{3}[/tex] et [tex]x=1[/tex].
2) Pour m réel, pour que la courbe Cg admette une unique tangente parallèle à l'axe des abscisses, il faut que l'équation g'(x)=0, admette une unique solution:
[tex]g'(x)=3mx^{2}-4x+1\\g'(x)=0 \Leftrightarrow 3mx^{2}-4x+1=0\\\Delta=(-4)^{2}-4 \times 3m \times 1=16-12m[/tex].
Pour que l'équation du second degré précédente ait une seule solution, il faut que [tex]\Delta=0[/tex].
Donc:
[tex]\Delta=16-12m\\\Delta=0 \Leftrightarrow 16-12m=0 \Leftrightarrow 12m=16 \Leftrightarrow m=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}[/tex].
Donc pour [tex]m=\frac{4}{3}[/tex], l'équation g'(x)=0, admet une unique solution, et par suite, pour cette même valeur de m, la courbe Cg admet une unique tangente parallèle à l'axe des abscisses.