Réponse : Bonsoir,
a) La fonction f(-x) est la composée :
x ---> -x ---> f(-x).
D'après le théorème de dérivation des fonctions composées:
(f(-x))'=(-x)' f'(-x)=-f'(-x).
Comme f est paire alors, f(-x)=f(x), donc f'(x)=(f(-x))'=-f'(-x).
f'(x)=-f'(-x) équivaut à f'(-x)=-f'(x), en multipliant -1 des deux côtés.
f' est donc impaire.
b) f est impaire, donc f(-x)=-f(x).
Donc (f(-x))'=(-f(x))'.
Et (f(-x))'=-f'(-x), puis (-f(x))'=-f'(x).
Donc -f'(-x)=-f'(x), en multipliant par -1 des deux côtés, ceci équivaut à
f'(-x)=f'(x).
f' est donc paire.
