Bonjour !
Avant tout, il faut comprendre ce que l'on cherche vraiment.
Ici, on cherche le volume des sphères. Mais c'est vague !
Qu'est-ce que c'est, le volume d'une sphère ?
C'est (4/3) * π * r³
Dans cette expression, il n'y a qu'une chose que l'on ne connaît pas : c'est le rayon (r).
Donc il faut juste comprendre OÙ est le rayon dans les dessins.
Pour le premier dessin :
Le cube est dans la sphère. Il faut savoir une chose :
Les sommets du cube font partie de la sphère, donc par définition ils sont tous à égale distance d'un point : le centre de la sphère.
Mais ce ne sont pas juste des points : ce sont les sommets d'un cube.
Regardons uniquement ce cube. On sait que ces sommets sont tous à égale distance d'un point. Et quel est ce point en l'occurrence ? Le centre du cube.
Donc on pourrait supposer que les deux centres coïncident. Mais il faut le prouver.
Procédons par l'absurde : imaginons qu'il y aurait plus qu'un point qui serait le ''centre ''
de nos sommets.
Pour ce faire, prenons une face du cube : les quatre points que nous auront seront
à égale distance de chaque point de la droite passant par le centre du carré et ''perpendiculaire '' à ce carré (comme un segment et sa médiane)
Une droite a beaucoup plus qu'un point, donc pour l'instant notre absurdité reste vraie.
Maintenant imaginons la face opposée à la face que nous venons d'étudier. Cette face aussi a sa ''médiane''. Et comme les deux faces sont opposées, cela veut dire que les
deux ''médianes que nous auront seront alignées.
Or les points des dux faces sont tous à la même distance d'un point, comme on avait dit avant. On sait maintenant que ce point est situé sur la droite passant par le centre de ces deux faces. Mais on sait qu'il n'y en a qu'un, de point comme ça. C'est le milieu du segment dont les origines sont les centres des faces. Et en fait peu importe où il est: si on le rapproche d'une face, il s'éloignera de l'autre donc les points ne seront plus tous à la même distance.
Donc, on a prouvé ce qu'on voulait, les centres du carré et de la sphère coïncident(ouf).
Tout ça pour quoi :
Si on regarde un des sommet du cube, le point du cube opposé à ce sommet sera un sommet du cube(exemple: F et D sur le dessin) or on a prouvé que le cube et la sphère ne faisaient qu'un en un sens. Et qu'est-ce que c'est, deux point opposés dans une sphère ? Un diamètre. Et qu'est-ce que c'est, un diamètre ? C'est le double d'un rayon.
DONC, voilà l'objectif : trouver DF.
Là, rien de plus simple : il faut utiliser Pythagore.
D'abord pour DB :
DB = √(2² + 2²)= √(8)
Donc DF = √( √(8)² + 2² ) = √(8+4) = √(12)
Donc le rayon est √(12) / 2 = √(12/4) = √(3)
Et nous avons enfin le volume : (4/3) * π * (√(3))³ ≈ 21, 77 cm³
Dessin 2:
Là, infiniment plus simple.
Prenons le point qui touche la face ABCD.
Le point opposé est donc le point qui touche la face EFGH.
Donc le diamètre est la distance entre ABCD et EFGH, donc par exemple AE.
AE = 2cm, donc le diamètre est égal à 2 cm, donc le rayon est de 1 cm,
Donc le volume est de (4/3) π * 1³ ≈ 4.19 cm³
Voilà, j'espère t'avoir aidé.
