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Sagot :

Bonjour,

1) Effectuer les calculs en détaillant toutes les étapes :

a. 123² - 122² - 121² + 120²

= 15 129 -14 884 - 14 641 + 14 400

= 4

b. 12² - 11² - 10² + 9²

= 144 - 121 - 100 + 81

= 4

c. 45² - 44² - 43² + 42²

= 2 025 - 1 936 - 1 849 + 1 764

= 4

2) Ecrire trois calculs sur le même modèle et les effectuer :

a. 15² - 14² - 13² + 12²

= 225 - 196 - 469 + 144

= 4

b. 9² - 8² - 7² + 6²

= 81 - 64 - 49 + 36

= 4

c. 27² - 26² - 25² + 24²

= 729 - 676 - 625 + 576

= 4.

3) Quelle conjecture peut-on faire ?

Quelque soit les nombres choisis le résultat est toujours 4.

4) Ecrire une expression littérale correspondant à ce type de calcul :

Soit x le 1er nombre choisi, donc on a :

x² - (x - 1)² - (x - 2)² + (x - 3)²

5) Développer et réduire cette expression pour démontrer la conjecture proposée :

x² - (x - 1)² - (x - 2)² + (x - 3)²

= x ² - (x² - 2x + 1) - (x² - 4x + 4) + (x² - 6x + 9)

= x² - x² + 2x - 1 - x² + 4x - 4 + x² - 6x + 9  

= x² - x² - x² + x² + 2x + 4x - 6x - 1 - 4 + 9

= 4

La conjecture est bien prouvée.

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