Bonjour,
1) Effectuer les calculs en détaillant toutes les étapes :
a. 123² - 122² - 121² + 120²
= 15 129 -14 884 - 14 641 + 14 400
= 4
b. 12² - 11² - 10² + 9²
= 144 - 121 - 100 + 81
= 4
c. 45² - 44² - 43² + 42²
= 2 025 - 1 936 - 1 849 + 1 764
= 4
2) Ecrire trois calculs sur le même modèle et les effectuer :
a. 15² - 14² - 13² + 12²
= 225 - 196 - 469 + 144
= 4
b. 9² - 8² - 7² + 6²
= 81 - 64 - 49 + 36
= 4
c. 27² - 26² - 25² + 24²
= 729 - 676 - 625 + 576
= 4.
3) Quelle conjecture peut-on faire ?
Quelque soit les nombres choisis le résultat est toujours 4.
4) Ecrire une expression littérale correspondant à ce type de calcul :
Soit x le 1er nombre choisi, donc on a :
x² - (x - 1)² - (x - 2)² + (x - 3)²
5) Développer et réduire cette expression pour démontrer la conjecture proposée :
x² - (x - 1)² - (x - 2)² + (x - 3)²
= x ² - (x² - 2x + 1) - (x² - 4x + 4) + (x² - 6x + 9)
= x² - x² + 2x - 1 - x² + 4x - 4 + x² - 6x + 9
= x² - x² - x² + x² + 2x + 4x - 6x - 1 - 4 + 9
= 4
La conjecture est bien prouvée.
