Bonjour,
a)On commence par déterminer les diviseurs de 28.
On sait que 28 = 1x28 = 2x14 = 4x7, donc les diviseurs de 28 sont 1, 2, 4, 7, 14 et 28.
On retire 28 et on fait la somme : 1+2+4+7+14 = 28, donc la somme des diviseurs de 28 différents de 28 est égale à 28 : 28 est donc un nombre parfait.
Déterminons les diviseurs de 64 :
64 = 1x64 = 2x32 = 4x16 = 8x8.
Les diviseurs de 64 sont 1, 2, 4, 8, 16, 32 et 64.
On enlève 64 et on fait la somme : 1+2+4+8+16+32 = 63
La somme des diviseurs de 64 est égale à 63, donc 64 n'est pas un nombre parfait (à une unité près).
2)
Déterminons les diviseurs de 220 :
220 = 1x220 = 2x110 = 4x55 = 5x44 = 10x22 = 11x20
Donc 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220.
On fait la somme (sans inclure 220) : on obtient 284.
Même chose pour 284 :
284 = 1x284 = 2x142 = 4x71
Diviseurs de 284 : 1, 2, 4, 71, 142, 284.
Somme = 120.
Donc 284 et 120 sont amicaux.
3)
Vérifions si 10 080 est un nombre gentil :
Il est forcément divisible par 1 (comme tout entier naturel).
Il est divisible par 2 (il est pair).
La somme de ses chiffres est 9 : il est divisible par 3.
Il se termine par 80, multiple de 4 : c'est un multiple de 4.
Il se termine par un 0 ou un 5 : c'est un multiple de 5.
C'est un nombre pair et divisible par 3 : c'est un multiple de 6.
Il est divisible par 7 (10 080 = 1440x7)
Il est divisible par 8 (10080 = 1260x8)
Il est divisible par 9 car la somme de ses chiffres est 9.
Il est divisible par 10 car son dernier chiffre est un 0 : c'est un nombre gentil.
Le plus petit nombre gentil est le plus petit nombre divisible à la fois par 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et 10.
On commence par 10 : 2x5.
Pour qu'il soit également un multiple de 9, on multiplie par 9 : 2x5x9
On veut que le nombre soit un multiple de 8. Il suffit de multiplier par 2x2, car on a déjà multiplié par 10. Il doit y avoir 3 fois le nombre 2 dans le produit, qui devient :
2³×5×9 = 8x5x9.
On multiplie par 7 : 7x8x5x9
Pas besoin de multiplier par 6 : c'est déjà un nombre pair (on multiplie par 8) qui est multiple de 3 (on multiplie par 9).
Pas besoin de multiplier par 5 : c'est déjà fait.
Pas besoin de multiplier par 4 car tous les multiples de 8 sont des multiples de 4.
Pas besoin de multiplier par 3 car c'est un multiple de 9 (et donc un multiple de 3).
Pas besoin de multiplier par 2 car c'est déjà un nombre pair.
On obtient donc 5x7x8x9 = 2520
Si tu as des questions, n'hésite pas! =)
