Bonjour,
L'objectif est de montrer que les vecteurs AD et AE (par exemple) sont colinéaires : dans ce cas, les points A, D et E sont forcément alignés.
Pour cela, il faut exprimer les deux vecteurs en fonction de deux mêmes vecteurs non colinéaires (je choisis AB et AC), à l'aide de la relation de Chasles.
Ainsi :
[tex]\vec{AD} = \vec{AB}+\vec{BD} \\
\vec{AD}= \vec{AB}+\frac 13 BC\\
\vec{AD} = \vec{AB} +\frac 13 \left(\vec{BA}+\vec{AC}\right)\\
\vec{AD} = \vec{AB} -\frac 13 \vec {AB} +\frac 13 \vec{AC}\\
\vec{AD} = \frac 23 \vec{AB}+\frac 13\vec{AC}\\
\vec{AD} = \frac 13 \left(2\vec {AB} +\vec{AC}\right) \\
\vec{AD} = \frac 13 \vec{AE}[/tex]
Cette égalité montre qu'il existe un réel k tel que AD = k AE, donc les vecteurs AD et AE sont colinéaires et les points A, D et E sont alignés.
Si tu as des questions, n'hésite pas! =)
