Première partie :
Données :
AH = 6 cm
AC = 3 cm
Résolution
A) quelles sont les valeurs possibles pour [tex]x[/tex] ?
Les valeurs possibles de [tex] x[/tex] varient entre 0 et 3
B-1) calculer MP en fonction de [tex]x[/tex]
Thalès
[tex] \frac{MP}{AH} = \frac{CP}{CA} => \frac{MP}{6} = \frac{x}{3} [/tex]
[tex] MP = \frac{6x}{3} [/tex]
B-2) Calculer en fonction de [tex]x[/tex] le périmètre du rectangle APMQ ?
P = QM + AP + MP + QA
AP = QM = 3 - [tex]x[/tex]
QA = MP = [tex] \frac{6x}{3} [/tex]
P = [tex]2(3 - x) + 2( \frac{6x}{3}) [/tex]
P = 6 - 2[tex]x[/tex] + [tex] \frac{12x}{3} [/tex]
P = 6 - 2[tex]x[/tex] + 4[tex]x[/tex]
P = [tex]6 + 2x[/tex]
C) Quelles dont les valeurs possibles du périmètre du rectangle APMQ?
Quand [tex]x = 0[/tex] alors P = 6
Quand [tex]x = 3[/tex] alors P = 12
Le périmètre de APMQ varie entre 6 et 12 cm en fonction de [tex]x[/tex].
D) calculer [tex]x[/tex] pour que le périmètre du rectangle APMQ et soit égal à 10 cm
alors on a [tex]6 + 2x = 10[/tex]
[tex]2x = 10 - 6 \\ 2x = 4 \\ x = -2 + 4 \\ x = 2[/tex]
Deuxième partie
Soit A(x) = (-2x+4)(x-1)
a) Développer et réduire A(x)
A[tex] (x) = (-2x + 4) (x - 1)
[/tex]
[tex]A(x) = -2 x^{2} +2x +4x -4 \\ A(x)= -2 x^{2} + 6x -4[/tex]
B) Calculer en fonction de X l'aire du rectangle APMQ
Pour AP =QM = 3 - [tex] x[/tex]
et QA = MP = [tex] \frac{6x}{3} [/tex]
Aire de APMQ = [tex](3 - x)( \frac{6x}{3})[/tex]
= [tex](3 - x) 2x[/tex]
= [tex]6x - 2 x^{2} [/tex]
=[tex] 2x (3 - x) [/tex]
C) Calculer la (les) valeur(s) de x pour la (les) quelle(s) l'aire du rectangle est égalé a 4cm²
Valeur(s) de x pour obtenir
Aire de APMQ = 4 cm²
6x - 2x² = 4
-2x² + 6x - 4 =0
Je multiplie par -1 pour avoir des signes positifs
2x² - 6x + 4 =0
Je simplifie par 2
x² -3x + 2 = 0
Pour x = 1
2x(3 - x) = 4
2(3-1) =4
avec x = 2
2x(3-x)=4
4(3-2)=4
mais c'est un peu tiré par les cheveux. Ceci étant je ne vois pas comment le démontrer sans les discriminants...
Je te joins quand même la démonstration pour les deux valeurs de X
Formule à connaitre : ax² +bx +c = 0
Discriminant et Δ
Δ = b² - 4ac = 9 - 4 *1 * 2 = 9 - 8 = 1
solutions = (- b +ou- Δ)/2a =(+3 + ou - √1 / 2 = (3 + 1)/ 2 = 2
et (3 - 1) / 2 = 1
