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On considère les suites définies par la relation (R) : Un+2=Un+1+Un et Uo=1

Partie A :

On cherche une suite géométrique de raison q positive vérifiant la relation (R)

1) Montrer que q²=q+1
2)Trouver la valeur exacte de la raison q de cette suite
3) Justifier q^4=3q+2

Partie B :

On considère la suite vérifiant la relation (R) avec de plus U1=1

1) Trouver U2, U3, U4 et U5
2) Ecrire un algorithme qui permet de calculer Un
3) Utiliser cet algorithme pour trouver U50

Sagot :

Il s'agit de la célèbre suite de FIBONACCI !
On considère les suites définies par la relation (R) : Un+2=Un+1+Un et Uo=1

Partie A :
1) Montrer que q²=q+1
U(n)=U(0)*q^n
U(n+1)=U(0)*q^(n+1)
U(n+2)=U(0)*q^(n+2)
donc U(0)*q^(n+2)=U(0)*(q^(n+1)+q^(n))
donc q^n*q²=q^n*q+q^n
donc q²=q+1

2)Trouver la valeur exacte de la raison q de cette suite
q²-q-1=0
delta=5 et q>0
q=(1+V5)/2 = nombre d'or

3) Justifier q^4=3q+2
q²=q+1
q^4=(q²)²=(q+1)²=q²+2q+1=q+1+2q+1=3q+2

Partie B :
On considère la suite vérifiant la relation (R) avec de plus U1=1
1) Trouver U2, U3, U4 et U5
U2=U0+U1=2
U3=3 ; U4=5 ; U5=8

2) Ecrire un algorithme qui permet de calculer
Variables
a,b,u sont entiers
n, k sont entiers
début
1-->a
1-->b
pour k allant de 2 à n
     u-->a+b
     b-->a
     u-->b
fin pour
afficher u
fin