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ABCD est un carré de côté 4 cm. Pour tout point M de [AB], on nomme I le point d'intersection de [DM] et [AC], x la longueur AM, et A(x) l'aire totale des deux triangles AMI et DIC.

1. Calculer A(0) et A(4).
2. Soit h la hauteur issue de I dans le triangle AMI. Montrer que h/4-h = x/4 puis que
    h = 4x/(x+4).
3. Montrer que A(x) = 2(x^2+16)/x+4 sur [0;4]
4. Etudier le sens de variation de A et en déduire la position de M assurant une aire totale        minimale.

Sagot :

Bonsoir,

1) Si x= 0, alors les points A, M et I sont confondus.
Le triangle AMI est réduit à un point et le triangle DIC est la moitié du carré dont l'aire est 4 * 4 = 16 cm².

Donc A(0) = 0 + 1/2 * 16 = 8 cm²

Si x = 4, alors les points D, M et I sont confondus.
Les triangles AMI et DIC correspondent chacun à un quart du carré.

Donc A(4) = 2 * (1/4) * 16 = 8 cm².

2) Les triangles AIM et CID sont semblables (opposés par le sommet avec (AM) parallèle à (DC)).
Les hauteurs correspondantes de ces triangles sont dans le même rapport que les côtés correspondants.

La hauteur issue de I dans le triangle CID mesure 4 - h.

Donc : 

[tex]\dfrac{h}{4-h}=\dfrac{AM}{DC}\\\\\dfrac{h}{4-h}=\dfrac{x}{4}[/tex]

On en déduit que :

[tex]\dfrac{h}{4-h}=\dfrac{x}{4}\\\\4h=(4-h)x\\\\4h=4x-hx\\\\hx + 4h = 4x\\\\(x+4)h=4x\\\\h=\dfrac{4x}{x+4}[/tex]


3) Aire d'un triangle = (1/2) * Base * hauteur.

[tex]Aire\ du\ triangle\ AMI = \dfrac{1}{2}\times AM\times h = \dfrac{1}{2}\times x\times h\\\\= \dfrac{1}{2}\times x\times \dfrac{4x}{x+4}=\dfrac{4x^2}{2(x+4)}=\dfrac{2x^2}{x+4}[/tex]

[tex]Aire\ du\ triangle\ DIC = \dfrac{1}{2}\times DC\times (4-h) = \dfrac{1}{2}\times 4\times (4-h)\\\\= 2(4-h)=2(4-\dfrac{4x}{x+4})=2(\dfrac{4(x+4)}{x+4}-\dfrac{4x}{x+4})[/tex]
[tex]=2(\dfrac{4(x+4)-4x}{x+4})=2(\dfrac{4x+16-4x}{x+4})=2(\dfrac{16}{x+4})=\dfrac{32}{x+4}[/tex]

D'où : 

[tex]A(x)=\dfrac{2x^2}{x+4}+\dfrac{32}{x+4}\\\\A(x)=\dfrac{2x^2+32}{x+4}\\\\A(x)=\dfrac{2(x^2+16)}{x+4}[/tex]

4) Etudions le signe de la dérivée A '(x).

[tex]A'(x)=2\times\dfrac{(x^2+16)'(x+4)-(x+4)'(x^2+16)}{(x+4)^2}\\\\A'(x)=2\times\dfrac{2x\times(x+4)-1\times(x^2+16)}{(x+4)^2}\\\\A'(x)=2\times\dfrac{2x(x+4)-(x^2+16)}{(x+4)^2}\\\\A'(x)=2\times\dfrac{2x^2+8x-x^2-16}{(x+4)^2}\\\\A'(x)=2\times\dfrac{x^2+8x-16}{(x+4)^2}[/tex]

racines de x² + 8x - 16 :
[tex]\Delta=(-8)^2-4\times1\times(-16)=64+64=128\\\\x_1=\dfrac{-8-\sqrt{128}}{2}\approx-9,7\\\\x_2=\dfrac{-8+\sqrt{128}}{2}\approx1,7[/tex]
racine de x + 4 : -4

[tex]\begin{array}{|c|ccccccccc||}x&-\infty&&-9,7&&-4&&1,7&&+\infty\\ 2&&+&+&+&+&+&+&+&\\ x^2+8x-16&&+&0&-&-&-&0&+&\\ x+4&&-&-&-&0&+&+&+&\\ A'(x)&&-&0&+&|&-&0&+& \\\end{array}[/tex]

Or x ∈ [0 ; 4]

Donc 

[tex]\begin{array}{|c|ccccc||}x&0&&1,7&&4\\ A'(x)&&-&0&+& \\ A'(x)&&\searrow&6,6&\nearrow& \\\end{array}[/tex]

Par conséquent A est décroissante sur [0 ; 1,7] et est croissante sur [1,7 ; 4]

L'aire totale des deux triangles sera minimale si AM ≈ 1,7