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Montrer que, pour tout réel x>-1, on a x/x+1 <= ln(1+x) <= x

Je sais qu'il faut faire la différence entre chaque puis étudier les variations de la dérivée de ces différences mais je n'arrive à rien de tout ça

Sagot :

Bonsoir,

1) Montrons que x/(x+1) ≤ ln(1+x), soit que ln(1+x) - x/(x+1) ≥ 0.
Posons g(x) = ln(1+x) - x/(x+1).

[tex]g'(x)=\dfrac{1}{1+x}-\dfrac{1\times(x+1)-1\times x}{(x+1)^2}\\\\g'(x)=\dfrac{1}{1+x}-\dfrac{(x+1)- x}{(x+1)^2}\\\\g'(x)=\dfrac{1}{1+x}-\dfrac{1}{(x+1)^2}\\\\g'(x)=\dfrac{1+x}{(1+x)^2}-\dfrac{1}{(x+1)^2}\\\\g'(x)=\dfrac{x}{(x+1)^2}[/tex]

[tex]\begin{array}{|c|ccccc||}x&-1&&0&&+\infty\\ x&&-&0&+&\\ (x+1)^2&&+&+&+&\\ g'(x)&&-&0&+&\\ g(x)&&\searrow&0&\nearrow& \\\end{array}[/tex]

Les variations de la fonction g montrent que pour tout x > -1, nous avons : g(x) ≥ 0, soit ln(1+x) - x/(x+1) ≥ 0.
Donc pour tout x > -1, nous avons : x/(x+1) ≤ ln(1+x)

2) Montrons que ln(1+x) ≤ x, soit que ln(1+x) - x ≤ 0
Posons h(x) = ln(1+x) - x.

[tex]h'(x)=\dfrac{1}{1+x}-1\\\\h'(x)=\dfrac{1}{1+x}-\dfrac{1+x}{1+x}\\\\h'(x)=\dfrac{1-(1+x)}{1+x}\\\\h'(x)=\dfrac{1-1-x}{1+x}\\\\h'(x)=\dfrac{-x}{1+x}[/tex]

[tex]\begin{array}{|c|ccccc||}x&-1&&0&&+\infty\\ -x&&+&0&-&\\ (1+x)&&+&+&+&\\ h'(x)&&+&0&-&\\ h(x)&&\nearrow&0&\searrow& \\\end{array}[/tex]

Les variations de la fonction h montrent que pour tout x > -1, nous avons : h(x) ≤ 0, soit ln(1+x) - x ≤ 0.

Donc pour tout x > -1, nous avons : ln(1+x) ≤ x.