1- Dans l'expression (a+b+c)² , remplacer a+b par X , puis développer et réduire en fonction de X et c
( X + c )² = x² + 2 xc + c² = x ( x + 2 c ) + c² = x² + c (2x +c)
2- Dans l'expression développée obtenue à la question 1, remplacer X par a+b, puis développer et réduire
(a+b)² + 2 (a+b) c + c² = a²+2ab + b² + 2ac +2 bc +c²= a² +b² + c² + 2ab +2bc+ 2 ac
3- En déduire que : (a+b+c)² = a²+b²+c²+ 2ab + 2bc + 2ac
après avoir remplacé (a+b) par x dans l'équation ( a+b+c)² et développé (x+c)² grâce aux identité remarquables, puis remplacé x par (a+b) dans le résultat obtenu, on arrive à (a+b+c)² = a²+ b²+ c²+ 2ab+ 2 ac +2 bc (voir détail des calculs plus haut) CQFD
4- Comment calculer astucieusement : 11² + 13² + 15² + 2 x 143 + 2 x 13 x 15 + 2 x165 ?
En utilisant cette nouvelle identité remarquable : 11² + 13² + 15² + (2 x 11 x 13) + (2 x 13 x 15) + (2 x 11 x 15) = ( 11+13+15)² = 39² = 1521
