Bonsoir,
a) Une équation de la tangente à C au point d'abscisse 0 est de la forme [tex]y=f'(0)(x-0)+f(0)[/tex], soit [tex]y=f'(0)x+f(0).[/tex]
Or [tex]f(0) = 0^3 + 2\times0+1\Longrightarrow f(0)=1[/tex]
[tex]f'(x)=(x^3+2x+1)'=3x^2+2\Longrightarrow f'(0)=0+2=2[/tex]
Par conséquent, une équation de la tangente à C au point d'abscisse 0 est [tex]\boxed{T\ :\ y = 2x+1}[/tex].
b) [tex]f(x)=x^3+2x+1\\\\f(x)-(2x+1)=x^3[/tex]
Le signe de f(x) - (2x+1) est le même que le signe de x^3 (qui est le même que le signe de x puisque la fonction cube est croissante sur R)
Donc f(x) - (2x+1) < 0 si x ∈ ]-inf ; 0[
f(x) - (2x+1) > 0 si x ∈ ]0 ; +inf[
c) La position relative de C et de T se détermine par le signe de f(x) - (2x+1)
* Si x ∈ ]-inf ; 0[, alors f(x) - (2x+1) < 0 et par conséquent, C est en-dessous de T
* Si x ∈ ]0 ; +inf[, alors f(x) - (2x+1) > 0 et par conséquent, C est au-dessus. de T.
* Si x = 0, alors Ce et T ont un point commun.
(graphique en pièce jointe)
