Bonjour, jai cet exercice a faire mais j y arrive pas... le probleme cest que notre prof veut que l on redige et explique beaucoup donc si vous m aidez ca serai hyper sympa (si possible detailler pour que je comprenne) Merci et bonne journee a tous
1) f'(x)=e^x-1 si x<0 alors e^x<e^0 donc f'(x)<0 si x>0 alors f'(x)>0 donc f est décroissante sur ]-inf;0] et croissante sur [0;+inf[ donc f admet un minimum en f(0)=0 donc pour tout réel x : f(x)>=0 donc pour tout réel x : e^x>=x+1
2) pour tout réel x : e^(-x)>=1-x donc 1/e^x>=1-x donc pour tout réel x : e^x<=1/(1-x)
3) a) on sait que e^x>=x+1 on pose x=1/n donc e^(1/n)>=1+1/n donc (e^(1/n))^n>=(1+1/n)^n donc e>=(1+1/n)^n
3) b) on sait que e^x<=1/(1-x) on pose x=1/(n+1) donc e^(1/(n+1))<=1/(1-1/(n+1)) donc (e^(1/(n+1))^(n+1)<=(1/(1-1/(n+1)))^(n+1) donc e<=((n+1)/n)^(n+1) donc e<=(1+1/n)^(n+1)
4) a) on pose u(n)=(1+1/n)^n d'après ce qui précède : u(n)<=e et (1+1/n)*u(n)>=e donc e-u(n)>0 et e-u(n)<=1/n*u(n) or u(n)<=3 donc 0<e-u(n)<=3/n
4) b) on a lim(0)=0 et lim(3/n)=0 d'après le th des gendarmes : lim(e-u(n))=0 donc : lim(u(n))=e ainsi la suite (u(n)) converge vers e
