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Un pavé droit ABCDEFGH a pour base un rectangle ABCD de périmètre 12 cm et pour hauteur AE= 3AB

1) On pose AB= x. Justifier que [tex]0 \leq x \leq 6.[/tex]
2) Démontrer que le volume du pavé droit s'exprime, en fonction de x, par : V(x) =[tex]3 x^{2} (6-x)[/tex].
3)Conjecturer, avec la calculatrice, les variations du volume du pavé droit, quand x décrit l'intervalle (0;6). Quel semble être le maximum du volume? Pour quelle valeur de x est-il atteint?
4) Quel est le volume W du pavé droit quand ABCD est un carré? 
Déterminer une valeur approchée à [tex] 10^{-2} [/tex] près de l'autre valeur de x pour laquelle le pavé a aussi pour volume W.

Sagot :

Bonsoir,

1) Le périmètre est P = 2(Longueur+largeur)=12
P=2(AB+AC)=12
AB + AC = 6
x + AC = 6
x = 6 - AC
Comme [tex]AC\ge0,\ nous\ avons : x\le6 [/tex]
Il va de soit que l'on a : [tex]x\ge0[/tex] puisque x est une longueur.
Donc  [tex]0\le x\le 6[/tex]

2 Volume = AB x AC x AE où AB = x ; AC = 6-x (voir point 1) et AE = 3x.
Volume [tex]V(x) = x\times(6-x)\times (3x)\\\\V(x) = 3x^2(6-x)[/tex]

3) En donnant les valeurs à x depuis 0 jusque 6, la fonction semble être croissante sur [0;4] et décroissante sur [4;6].
Son maximum semble être égal à 96 pour x = 4.

4) ABCD est un carré
Si le périmètre vaut 12, alors le côté du carré égale 12/4 = 3 (cm).
Le volume W est égal à 3 * 3² * (6-3) = 3 * 9 * 3 = 81 (cm³)

Une des valeurs de x est donc 3.
En donnant des valeurs successives à x, on pourrait voir que l'autre valeur de x est environ 4,85.

V(4,84) = 81,52
V(4,85) = 81,15
V(4,86) = 80,78