Bonsoir,
1) L'aire du rectangle AMNP = AM x AP.
Or : AM = x et AP = AB - PB = 6 - x.
L'aire du rectangle AMNP = f(x) = x(6 - x)
Pour vérifier que f(x) - 8 = 1 - (x - 3)², il suffit de développer les deux membres.
D'une part, f(x) - 8 = x(6 - x) - 8
f(x) - 8 = 6x - x² - 8
f(x) - 8 = -x² + 6x - 8
D'autre part, 1 - (x - 3)² = 1 - (x² - 6x + 9)
1 - (x - 3)² = 1 - x² + 6x - 9
1 - (x - 3)² = -x² + 6x - 8
Les membres de droites étant égaux, nous avons bien f(x) - 8 = 1 - (x - 3)².
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L'aire du rectangle AMNP vaut 8 cm² signifie que f(x) = 8
ou encore que f(x) - 8 = 0.
En utilisant la première partie de l'exercice, nous devons donc résoudre l'équation :
1 - (x - 3)² = 0
ou encore
1² - (x-3)² = 0
Utilisons l'identité remarquable : a² - b² = (a + b)(a - b) avec a = 1 et b = (x-3)
[1 + (x - 3)][1 - (x - 3)] = 0
(1 + x - 3)(1 - x + 3) = 0
(x - 2)(4 - x ) = 0
x - 2 = 0 ou 4 - x = 0
x = 2 ou x = 4
