Sagot :
Il s'agit d'étudier des fonctions de 2 variables
1) f(x,y)=(x²y^5)/(x^4+x²y²+y^4)
on pose y=kx
f(x,kx)=(k^7x^7)/(x^4+k²*x^4+k^4x^4)
=(k^7x^7)/(x^4*(1+k²+k^4))
=(k^7)/(1+k²+k^4)*x³
si x -->0 alors (k^7)/(1+k²+k^4)*x³--- >0
donc f(x,y) -->0
2) g(x,y)=ln(x+y)/(x²+2xy-y²-1)
on pose y=kx , k>0
g(x,kx)=(ln((k+1)x))/(x²+2kx²-k²x²-1)
=(ln((k+1)x))/(x²(1+2k-k²)-1)
si x -->0 alors (x²(1+2k-k²)-1) --> -1 et (ln((k+1)x) --> - inf
donc g(x,y) --> +inf
3) h(x)=ln(x)/(x²-1)=ln(x)/((x-1)(x+1))
on pose X=x-1
donc h(x)=ln(X+1)/(X*(X-2))=k(X)
si x -->1 alors X -->0
on peut donc effectuer un développement limité de k au voisinage de 0
ln(X+1)=X-1/2X²+o(X)
donc k(X)=(X-1/2X²+o(X))/(-2X+X²+o(X))
=(-1/2X+1+o(1))/(X-2+o(1))
si X -->0 alors k(X) --> (0+1)/(0-2)=-1/2
donc h(x) -->-1/2
1) f(x,y)=(x²y^5)/(x^4+x²y²+y^4)
on pose y=kx
f(x,kx)=(k^7x^7)/(x^4+k²*x^4+k^4x^4)
=(k^7x^7)/(x^4*(1+k²+k^4))
=(k^7)/(1+k²+k^4)*x³
si x -->0 alors (k^7)/(1+k²+k^4)*x³--- >0
donc f(x,y) -->0
2) g(x,y)=ln(x+y)/(x²+2xy-y²-1)
on pose y=kx , k>0
g(x,kx)=(ln((k+1)x))/(x²+2kx²-k²x²-1)
=(ln((k+1)x))/(x²(1+2k-k²)-1)
si x -->0 alors (x²(1+2k-k²)-1) --> -1 et (ln((k+1)x) --> - inf
donc g(x,y) --> +inf
3) h(x)=ln(x)/(x²-1)=ln(x)/((x-1)(x+1))
on pose X=x-1
donc h(x)=ln(X+1)/(X*(X-2))=k(X)
si x -->1 alors X -->0
on peut donc effectuer un développement limité de k au voisinage de 0
ln(X+1)=X-1/2X²+o(X)
donc k(X)=(X-1/2X²+o(X))/(-2X+X²+o(X))
=(-1/2X+1+o(1))/(X-2+o(1))
si X -->0 alors k(X) --> (0+1)/(0-2)=-1/2
donc h(x) -->-1/2
