Partie B:
Soit n un entier naturel non nul. On appelle dn, l’aire, en unités d’aire, du domaine du plan délimité par la courbe (C) et les droites d’équations x = 0 et x = n.
Justifier que pour tout entier naturel n non nul,
d(n) est l'aire "sous la courbe" avec f(x)=ln(1+e^(-x))+x/3
donc d(n)=intégrale (ln(1+e^(-x))+x/3,0,n)
On admet que pour tout réel x, ln(1+e^(-x) < e^(-x)
donc d(n)< intégrale(e^(-x),0,n)+intégrale(x/3,0,n)
donc d(n) < [-e^(-x),0,n]+[x²/6,0,n]
donc d(n) < e^(-n)-1+n²/6<e^(-n)+n²/6
or 0<e^(-n)<1 si n>0
donc d(n)<1+n²/6
