ABCD est un carré de côté 6 cm ; le point E est un point du segment [BC]. La parallèle à (AB) passant par E coupe la diagonale [BD] en M.
On voudrait placer E sur [BC] de sorte que l'aire du trapèze ABEM soit égale à la moitié de celle du carré ABCD. On pose x = BE et on appelle f la fonction qui associe à x l'aire du trapèze ABEM.
1. Dans quel intervalle peut varier x ? Quel est l'ensemble de définition de f ?
2. Exprimer f(x) en fonction de x.
3. Où placer E pour que l'aire du trapèze soit la moitié de celle du carré ? On donnera une valeur arrondie à 0,01 près à l'aide de la calculatrice et en indiquant la méthode utilisée.
4. Calculer la valeur exacte du nombre f([tex]3 \sqrt{5} [/tex]– 3). Conclure.

1) E est sur [BC] donc x varie de 0 à 6.

ou : x [0;6]

Df=[0;6]

2)a)

L'angle MBE est l'angle formé par la diagonale du carré et un côté du carré. Il mesure donc 45°.

Le triangle BEM est rectangle en E donc BEM=90°.

Donc angle EMB=180-(45+90)=45°

Le triangle MEB a ses 2 angles à la base égaux : il est isocèle en E donc :

EM=EB=x

aire tapèze= (grande base + petite base)* hauteur/2

...........=(AB+ME)*EB/2

...........=(6+x)*x/2

...........=(6x+x²)/2

...........=6x/2+x²/2

f(x)=x²/2 + 3x