Réponse :
Explications étape par étape :
Bonsoir
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [− 4 ;3 ] par f (x) = x3 + 3x2 − 9x – 20
On admet que la fonction f est dérivable sur l’intervalle [− 4 ;3 ] et on note f ’ sa fonction dérivée .
La courbe représentative de la fonction f , notée c , est tracée dans le repère ci-dessous.
La droite T tracée dans le repère est la tangente à la courbe c au point d’abscisse 0 .
1) Déterminer graphiquement le maximum et le minimum de la fonction f .
Graphiquement il y a un maximum pour x = - 3 et son image par la courbe est 7 et il y a un second maximum pour x = 3 et l'image par la courbe est 7
Il y a un minimum pour x = 1 et son image par la courbe est - 25
2) Déterminer l’expression de f ‘(x) sur [− 4 ;3 ] .
f est dérivable sur [− 4 ;3 ] donc
f' (x) = 3x² + 6 x - 9
3) Etudier le signe de 3x2 + 6x – 9 en fonction de x sur [− 4 ;3 ]
f'(x) s'annule si f'(x) = 0
si 3x² + 6 x- 9 = 0
si 3( x² + 2 x - 3) = 0
si x² + 2 x - 3 = 0
On calcule le discriminant Δ = b² - 4 ac avec a = 1 b = 2 c = - 3
application numérique
Δ = b² - 4 ac = 2² - 4 (1)(-3)
Δ= 4 + 12 = 16>0 avec √Δ = √16 = 4
donc f'(x) = 0 admet deux solutions
x₁= (- b + √Δ)/ 2 a ou x ₂ = (- b - √Δ)/ 2 a
x₁ = ( - 2 + 4)/2(1) ou x₂= (- 2 - 4)/2(1)
x₁ = 2/2 ou x₂= (- 6)/2
x₁= 1 ou x₂= -3
x₁ ∈ [− 4 ;3 ] ou x₂ ∈ [− 4 ;3 ]
f'(x) peut s'écrire de la forme a(x - x₁) (x - x₂)
f'(x) = 3 (x - 1) (x + 3)
x - 4 - 3 1 3
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x - 1 -- ! -- ⊕ +
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x + 3 -- ⊕ + ! +
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f' + ⊕ -- ⊕ +
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f croissante décroissante croissante
4) En déduire le tableau de variations de f sur [− 4 ;3 ] et retrouver les résultats du 1)
sur [− 4 ; - 3 ] la fonction est croissante
sur [− 3; 1 ] la fonction est décroissante
sur [ 1; 3 ] la fonction est croissante
on a bien un maximum en x = - 3 et un maximum en x = 3
f(-3) = (-3)³ + 3(-3)² - 9(-3) - 20 = - 27 + 27 + 27 - 20 = 7
f(3) = (3)³ + 3(3)² - 9(3) - 20 = 27 + 27 - 27 - 20 = 7
et on a un minimum en x = 1
f(1) = 1³ + 3 (1)² - 9 (1) - 20 = 1 + 3 - 9 - 20 = - 25
5) Déterminer l’équation réduite de la droite T tangente à la courbe c au point d’abscisse 0 .
l'équation de la tangente en au point d'abscisse 0 est y = f'(0) (x - 0) + f(0)
en x = 0 on a f(0) = (0)³ + 3(0)² - 9 (0) - 20 = - 20
f'(0) = 3 (0)² = 6(0) - 9 = - 9
donc l'équation réduite de la tangente T à la courbe c au point d’abscisse 0 est y = - 9 x - 20