Exercice 1 - Défi 1 :
soit x le nombre de facteurs positifs
Soit x € n
x + 3x = 68 == 4x = 68 == x = 68 / 4 == x = 17
On a donc facteurs positifs et 51 facteurs négatifs
51 est un nombre impair donc le produit de ces 51 nombres sera
négatif puisqu'on sait que le produit de deux nombres négatifs est positif
(exemple : soit 3 nombres négatifs : -3 x -2 x -1 = 6 x (-1) = -6
De plus le produit d'un nombre positif et négatif sera négatif.
Donc le produit des 51 nombres négatifs et des 17 nombres positifs sera négatif.
Défi 2 : La seule possibilité est d'avoir 2006 fois le nombre (-1) et 1 fois le nombre (-2) :
2007 = (-1) + (-1) + ... + (-1) + (-2)
Le produit de ces 2007 nombres est donc égal à (-2).
Défi 3 : On a un nombre avec un chiffre avant la virgule, et 3 chiffres après la virgule.
Sachant que son arrondi est 7, il est donc compris entre 6.501 et 7.499.
Si le chiffre des unités est le double d'un autre, cela signifie
que le chiffre des entiers est pair (car la moitié d'un chiffre impair
donne un nombre à virgule, et non pas un chiffre).
Notre intervalle est
donc restreint : 6.501<solution<6.999
Quelque soit la solution, on sait que le chiffre des entiers est 6,
et on peut donc déduire celui des centièmes (3).
On a donc un nombre sous la forme 6.()3()
On s'intéresse maintenant au chiffre des dixièmes : il est compris entre 5 et 9
- Si on prend 7 par exemple, on aura 6+7+3=16 or 16=/=15, donc peu
importe la valeur des millièmes, les chiffres 7, 8 et 9 ne conviennent
pas (trop grands)
- Si on prend 6, on a 6.630
- Si on prend 5, on a 6.531
Ces 2 résultats ont l'air corrects mais je pense qu'il s'agit
du 6.531 car sinon, il aurait été inutile de mentionner qu'il y a un
chiffre des millièmes.
Exercice 2 :
On a 3 relation trouvées grâce au théorème de Pythagore
BC²=AB²+AC² (1)
AC²=AH²+HC² (2)
BA²=AH²+BH² (3)
D'après la relation (3) on a :
AH²=AB²-BH²
En remplaçant (1) c est-à-dire en remplacant AB²=BC²-AC² on obtient : AH²=BC²-AC²-BH²
En remplaçant AC² par AH²+HC² on a : AH²=BC²-AH²-HC²-BH²
On calcule en regroupeant tous les AH² ensembles : 2AH²=BC²-CH²-BH²
Comme H appartient au Segment [BC] on a BC=BH+HC
2AH²=(BH+HC)²-CH²-BH²
On développe l'identité remarquable :
2AH²=BH²+2*BH*HC+HC²-CH²-BH²
en simplifiant les termes BH² et CH² qui s'annulent
En divisant par deux on obtient :
AH²=BH*HC
