AMACHADO92
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Exercice 59 
Le cercle (C°) , de centre O et le cercle (C') ,de centre O',sont sécants en deux points A et F .Les segments [AB]  et [GF] sont deux diamètres du cercle (C) et les segments [AE] et [FH]sont des diamètres du cercle (C').

Questions:

1) Prouver que les droites (OO') et (BE) sont parrallèles et que BE=2*OO'

2) Prouver que les droites (OO') et (GH) sont parallèles et que : GH=2*OO'

3) En  déduire que le quadrilatère GHEB est  un parrallèlogramme.

Sagot :

1) Les droites (AB) et (AE) sont sécantes en A, et les points O,B,O' et E différents de A, donc puisque AO/AB =AO'/AE = 1/2 (par la réciproque du théorème de Thalès) on a (OO') parallèle à (BE).
Maintenant, puisque (OO') et (BE) sont parallèles, on a par le théorème de Thalès: AO/AB = AO'/AE = OO'/BE = 1/2 donc BE = 2 OO' .
2) Les droites (FG) et (FH) sont sécantes en F, et les points O,G,O' et H différents de F, donc puisque FO/FG =FO'/FH = 1/2 (par la réciproque du théorème de Thalès) on a (OO') parallèle à (GH).
Maintenant, puisque (OO') et (GH) sont parallèles, on a par le théorème de Thalès: FO/FG = FO'/FH = OO'/GH = 1/2 donc GH = 2 OO' .
3) Puisque (GH) est parallèle à (OO'), et (OO') est parallèle à (BE), donc (GH) est parallèle à (BE) (1).
On a aussi BE = 2 OO' et GH = 2 OO' , donc BE = GH (2) .
Par (1) et (2) on peut affirmer que le quadrilatère GHEB est un parallèlogramme.