PartieA
Soit g la fonction définie sur ]0;+∞[ par g (x) = x lnx – 2x + 3
a) Déterminer la limite de g en 0 .
lim(g(x),0)=3
b) Déterminer la limite de g en +∞
lim(g(x), +∞)=+∞
c) Montrer que g'(x) = lnx – 1
g'(x)=1*lnx+x*1/x-2=lnx-1
d) étudier le signe de g’(x) et dresser le tableau de variation
complet de g. En déduire que, pour tout x appartenant à ]0;+∞[, g(x) > 0
g est décroissante sur ]0;e]
g est croissante sur [e;+∞[
g(e)=3-e>0
Partie B
Soit f la fonction définie sur ]0;+∞[ par: f (x) = 2x² lnx - 5x² +12x.
On note Cf la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthogonal ayant pour unités graphiques: 2 cm en abscisse et 0,5 cm en ordonnée.
Soit x appatenant à ]0;+∞[.
a) Montrer que f '(x) = 4 g(x)
f'(x)=4xlnx+2x²*1/x-10x+12
=4xlnx-8x+12
=4g(x)
b) Déterminer la limite de f en 0.
lim(f(x),0)=0
c) Déterminer la limite de f en +∞.
lim(f(x),+∞)=+∞
d) Dresser le tableau de variations complet de f.
g(x)>0 donc f'(x)>0
f est croissante sur [0;+∞[
