1.
x<h
x<2/(1/x +1/y)
x<2/(x+y/xy)
x<2xy/x+y
x(x+y)<2xy
x²+xy<2xy
x²<2xy-xy
x²<xy
x²/x<xy/x
x<y ce qui est le postulat de départ donc x<h
a<y
(x+y)/2<y
x+y<2y
x<2y-y
x<y ce qui est le postulat de départ donc a<y
2. g<a
V(xy)<(x+y)/2
2V(xy)<x+y
0<x+y-2V(xy) identité remarquable du type (a-b)² = a²-2ab+b²
0<(Vx-Vy)² or un carré et toujours positifs et x<y
donc g<a
3 g² = ah
g² = (x+y)/2 * 2/(1/x + 1/y)
(v(XY))² = (x+y)/2 *2/(x+y/xy)
xy = ((x+y)*2/ 2(x+y)) xy
or (x+y)*2/ 2(x+y) = 1 donc g²=ah
On sait que
g<a
g²<ga
ah<ga
donc h<g
4. rangeons x,y,a,g et h par ordre croissant
x<h<g<a<y
