On considère la suite (un) définie par u0= 2 et pour tout entier naturel n : un+1= (1+3un)/(3+un) On admet que tous les termes de cette suite dont définis et strictement positifs.
1). Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a : un>1
2). a. Établir que pour tout entier naturel n on a : un+1 - un = (1 - un) (1+un)/(3+un) b. Déterminer le sens de variation de la suite (un). En déduire que la suite (un) converge
U0=2>1 Supposons Un>1 2Un > 2 On ajoute 1 dans chaque membre: 2Un + 1>3 et on ajoute Un dans chaque membre: 2Un+Un+1>3+Un donc 3Un+1>3+Un or un+1= (1+3un)/(3+un): le numérateur est supérieur au dénominateur donc la fraction est supérieur à 1. Donc un+1>1
