Bonjour, vous pouvez m’aider c’est urgent.

 

Exercice1:

Voici quatre expressions: «　est un multiple de　», «　est un diviseur de　», «　est divisible par　», «　divise　». Compléter les expressions ci-dessous par les expressions qui conviennent:

a)5.……..25   b)21.……..3   c)32.……..4   d)11.……..43

 

Exercice 2:

1) Ecrire tous les diviseurs de a, de b et de a-b dans chacun des cas suivants:

a) a=18 et b=12    b) a=25 et b=22

 

2) Comparer dans les 2 cas ci-dessus PGCD (a;b) et PGCD (b;a-b).

Propriété:

On admettra que, pour tous entiers strictement positifs a et b (avec a>b), on a: PGCD (a;b) = PGCD (b;a-b).

 

3) A l’aide de la propriété précédente, compléter es étapes ci-dessous pour calculer le PGCD de 14 964 et 11 223:

Etape 1: 14 964 - 11 223 = 3 741 donc PGCD (14 964; 11 223) = PGCD (11 223; 3741).

Etape 2: 11 223 - 3741 =… donc PGCD (11 223; 3 741) = PGCD (3741;…).

Etape 3:… -3 741 =… donc PGCD (…; 3 741) = PGCD (…; 3741)…

Etape 4:… - 3 741 =…

  En déduire le PGCD de 14 964 et 11 223.

 

Ce procédé de calcul d’un PGCD est appelé algorithme des soustractions  successives.

 

Exercice 3:

En utilisant l’algorithme ci-dessus, calculer PGCD(125;75) et PGCD (7 821; 5 211).

 

Exercice 4:

En utilisant l’algorithme des soustractions successives, démontrer que les nombres 1432 et 587 sont premiers entre eux.

 

Exercice 5:

Une association sportive organise une compétition. 144 filles et 252 garçons se sont inscrits.

L’association souhaite répartir les équipes en équipes mixtes. Le nombre de filles doit être le même dans chaque équipe.

Tous les inscrits doivent êtres dans une équipe.

 

1) Quel est le nombre maximal d’équipes que cette association peut former ?

2) Quelles est alors la composition de chaque équipe ?

 

Exercice 6:

1) Exemple

A- Poser la division euclidienne de 54 et 12; recopier et compléter: 54= 12 x … + …

B- Déterminer tous les diviseurs positifs de 54, de 12 et de 6.

C- Quels sont les diviseurs communs à 54 et 12 ? À 12 et 6 ?

D- Comparer PGCD (54;12) et PGCD (12;6).

 

On peut conjecturer que:

 

Soient a et b deux nombres entiers strictement positifs tels que a > b. Si r est le reste de la division euclidienne de a par b, alors PGCD (a;b) = PGCD (b;r).

 

2) Démonstration

On suppose que a, b, q et r désignent des entiers tels que a = bq + r

D désigne un diviseur de b et de r.

Par définition, il existe b’ tel que b= db’ et r’ tel que r= dr’ , avec b’ et r’ deux entiers.

a- Ecrire bq + r en fonction de d.

b- En déduire que d est aussi un diviseur de a.

 

On a montré que: Tous diviseur de b et de r est aussi un diviseur de a et de b.

 

D désigne maintenant un diviseur de a et b.

Par définition, il existe deux entiers a’ et b’ tels que a = da’ et b = db’.

c- Ecrire r en fonction de a, b et q, puis en fonction de d.

d- En déduire que d est aussi un diviseur de r.

 

On a montré que d est aussi un diviseur de r.

 

e- Pourquoi peut-on dire que PGCD (a;b) = PGCD (b;r) ?