Sagot :
P(n) : "n(n²+5) multiple de 3"
(i) : n=1 ; n(n²+5)=6=2x3 donc P(1) vraie
(h) : P(n) vraie
n(n²+5) =3k avec k entier
n³+5n=3k
(n+1)((n+1)²+5)=(n+1)(n²+2n+6)
=n³+2n²+6n+n²+2n+6
=n³+3n²+8n+6
=(n³+5n)+(3n²+3n+6)
=3k+3(n²+n+2)
=3(n²+n+2+k)
=3k'
donc P(n+1) vraie
(c) : P(n) est vraie pour tout entier n
(i) : n=1 ; n(n²+5)=6=2x3 donc P(1) vraie
(h) : P(n) vraie
n(n²+5) =3k avec k entier
n³+5n=3k
(n+1)((n+1)²+5)=(n+1)(n²+2n+6)
=n³+2n²+6n+n²+2n+6
=n³+3n²+8n+6
=(n³+5n)+(3n²+3n+6)
=3k+3(n²+n+2)
=3(n²+n+2+k)
=3k'
donc P(n+1) vraie
(c) : P(n) est vraie pour tout entier n
