un rectangle a un périmètre de 14 cm. si on augmente sa longueur de 3 cm et sa largeur de 2 cm , son aire augmente de 23 cm^2 .calculer les dimensions de ce rectangle . merci d'avance pour l'aide ;)
Soit x la longueur du rectangle (en centimètres)
et y sa largeur (en centimètres).
Comme le périmètre est le double de la somme de la largeur et de la longueur, on a :
2(x + y) = 14 ⇔ 2x + 2y = 14
et x + y = 7
Si l'on augmente la longueur de 3 cm et sa largeur de 2 cm, l'aire augmente de 23 cm²,
l'aire étant le produit de la longueur par la largeur, on a donc :
(x + 3) (y + 2) = xy + 23
d'où xy + 2x + 3y + 6 = xy + 23
soit 2x + 3y = 23 − 6
= 17
Ce qui donne le système :
{ 2x + 2y = 14
{ 2x + 3y = 17
En soustrayant par parties, on obtient : −y = 14 − 17 ⇔ y = 3
D'où x = 7 − y
= 7 − 3
= 4
Ce rectangle a donc une longueur de 4 cm
et une largeur de 3 cm.
[Vérification : 2(4 + 3) = 2 × 7
= 14
et (4 + 3) (3 + 2) = 7 × 5
= 35
or (4 × 3) + 23 = 12 + 23
= 35]