Bonjour j'ai un petit exercice de maths et j'ai répondu a toute les question mais quand j'ai voulu tracé l'orthocentre a la partie C sa ma donner quelque chose de bizarre...je c'est pas si c'est une erreur de calcul...

Pouviez vous me montrer comme tracer l'orthocentre?

Merci a vous.

On considère un cercle de centre O, et 3 points A,B et C sur ce cercle formant un triangle quelconque.
On appelle A' le milieu de [BC],B' le milieu de [CA],C' le milieu de [AB].

Partie A

1)Faire une figure
2)Que représentent pour ABC le point O ainsi que les droites (OA'),(OB'), et (OC')??

3)Montrer que pour tout point M, (1) (Vect)MB +(Vect)MC=2(Vect)MA' Et (2) (Vect)MA +(Vect)MB=2(Vect)MC'

Partie B

On considère le centre de gravité G de ABC et le point P tel que:VectAP=2/3VectAA'

1)Montrer que : (Vect)AB +(Vect)AC=2(Vect) AA' puis que (Vect)PA+(Vect)PB+(Vect)PC=(Vect)0
5)Montrer que vectPA+VectPB=2VectPC' puis que VectPC=-2VectPC '
6)En deduire que P et G sont confondus, puis que G vérifie:
Vect Ga+VectGB +VectGC=Vect0

et 3 Vect OG=VectOA+VectOB+VectOC

Compléter la figure.

Partie C
On considère l'orthocentre H de ABC et le point K tel que: vectOK=VectOA+VectOB+VectOC

8) Montrer que : Vect OB +VECTOC=2vectOA' puis que vectAK=2OA'
9)En deduire que (AK) et (BC) sont perpendiculaires,puis que (BK) et (AC) sont aussi perpendiculaires
10)En deduire que K et H sont confondus, puis que H vérifie: vectOH=VectOA+VectOB+VectOC
11)Compléter la figure

On considère un cercle de centre O, et 3 points A,B et C sur ce cercle formant un triangle quelconque.
On appelle A' le milieu de [BC],B' le milieu de [CA],C' le milieu de [AB].

Partie A

1) Faire une figure.

Cf. fichier joint

2) Que représentent pour ABC le point O ainsi que les droites (OA'),(OB'), et (OC') ?

Le point O étant le centre du cercle circonscrit au triangle ABC représente le point où concourent les trois médiatrices des côtés du triangle ABC, c'est à dire le point d'intersection des droites (OA'),(OB'), et (OC').

3) Montrer que pour tout point M, (1) MB + MC = 2 MA'

Et (2) MA + MB = 2 MC'

Puisque A' est le milieu de [BC], on a : A'B = CA' = -A'C

MB + MC = MA' + A'B + MA' + A'C
= 2 MA' + A'B + A'C
= 2 MA' - A'C + A'C

= 2 MA'

Par le même raisonnement, on prouve que :

MA + MB = 2 MC'

Partie B

On considère le centre de gravité G de ABC et le point P tel que : AP = 2/3 AA'

4) Montrer que : AB + AC = 2 AA' puis que PA + PB + PC = 0

AB + AC = 2 AA + A'B + A'C

= 2 AA' - A'C + A'C
= 2 AA'

Et :

PA + PB + PC = PA + PA + AB + PA + AC
= 3 PA + 2 AA'
= 3 × 2/3 A'A + 2 AA'
= 2 A'A + 2 AA'
= 0

5) Montrer que PA + PB = 2 PC' puis que PC = -2 PC '

PA + PB = PC' + C'A + PC' + C'B
= 2 PC' + C'A + C'B
= 2 PC' + C'A - C'A
= 2 PC'

PC = PA + PB + PC - PA - PB
= 0 - 2 PC'

= -2 PC'

6) En deduire que P et G sont confondus,

puis que G vérifie : GA+GB + GC = 0

et 3 OG = OA + OB + OC

Puisque PC = -2 PC', on a : CP = 2/3 CC'.

Or le centre de gravité se trouve par définition à cet endroit.

Donc P et G sont confondus.

Et comme PA + PB + PC = 0

et que P et G sont le même point, GA + GB + GC = 0

De plus : OA + OB + OC = 3 OG + GA + GB + GC

= 3 OG + 0

= 3 OG

Compléter la figure.

Cf. fichier joint.

Partie C

On considère l'orthocentre H de ABC et le point K tel que: OK = OA + OB + OC

8) Montrer que : OB + OC = 2 OA' puis que AK = 2 OA'

OB + OC = OA' + A'B + OA' + A'C

= 2 OA' - A'C + A'C

= 2 OA'

AK = OK - OA

= OA + OB + OC - OA
= OB + OC
= 2 OA'

9) En deduire que (AK) et (BC) sont perpendiculaires,puis que (BK) et (AC) sont aussi perpendiculaires.

Comme (OA') est la médiatrice du segment [BC], elle lui est nécessairement perpendiculaire.

Et comme nous venons de démontrer que AK est collinéaire à OA', (AK) est donc aussi perpendiculaire à (BC)

Par le même raisonnement, on prouve que (BK) est perpendiculaire à (AC)

10) En deduire que K et H sont confondus, puis que H vérifie : OH = OA + OB + OC

Comme (AK) est la perpendiculaire à (BC) passant par A et (BK) la perpendiculaire à (AC) passant par B, (AK) et (BK) sont deux droites confondues avec les hauteurs du triangle ABC.

Or deux hauteurs d'un triangle se coupent à l'orthocentre de ce triangle.

K est donc confondu avec H l'orthocentre du triangle ABC.

Et comme : OK = OA + OB + OC

et que K et H sont confondus, on a aussi : OH = OA + OB + OC

11) Compléter la figure

Cf. fichier joint.

Partie D

12) Que peut-on conclure quant à la position de O,H et G ?

Comme on a : 3 OG = OA + OB + OC

et que OH = OA + OB + OC

les vecteurs OG et OH sont collinéaires.

Ces deux vecteurs ayant de plus le point O en commun, sont sur la même droite.

Donc O, H et G sont alignés dans cet ordre.