Construction :
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Il s'agit donc de fabriquer un premier rectangle ABCD.
On forme ensuite sur la diagonale [AC] du rectangle précédent un deuxième rectangle ACEF tel que le point B se trouve sur le segment [EF].
Pour les besoins de la preuve qui suit, indiquer sur la figure la hauteur du triangle ABC issue de B qui coupe [AC] en H.
Voyons l'aire du rectangle ACEF :
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La hauteur (HB) de ABC issue de B, qui coupe [AC] en H, est nécessairement perpendiculaire à (AC)
Or (AF) et (CE) sont aussi par construction perpendiculaires à (AC).
Donc (AF) // (HB) // (CE)
Or A, H et B sont alignés tout comme F, B, et E.
Donc [AF] = [HB] = [CE]
Or l'aire d'un triangle est la moitié du produit de sa hauteur par le côté qui lui est associé.
Celle de ABC est donc : 1/2 × AC × HB = 1/2 × AC × CE
Or l'aire d'un rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur.
Celle de ACEF est donc : AC × CE
Or : AC × CE = 2 × (1/2 × AC × CE)
L'aire du rectangle ACEF est donc le double de celle du triangle ABC.
Or celle du triangle ABC est par construction la moitié de celle du rectangle ABCD
Donc l'aire de ABCD égale celle de ACEF.
