Exercice 3 :
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1. On a :
— la première racine x' = (-b + √Δ)/2a
— la deuxième racine x" = (-b - √Δ)/2a
Avec Δ = b² - 4ac
Ce qui fait que :
x' x" = (-b + √Δ) / 2a × (-b - √Δ) / 2a
= ((-b)² - √Δ²) / 4a²
= (b² - Δ) / 4a²
= (b² - (b² - 4ac)) / 4a²
= (b² - b² + 4ac) / 4a²
= 4ac / 4a²
= c/a
2. Comme x' x" = c/a ⇔ x" = c/a × 1/x'
a) 5x² + x - 6 = 0 admet comme racine évidente 1
car 5(1)² + (1) - 6 = 5 + 1 - 6 = 0
et comme deuxième racine -6/5
car c/a × 1/1 = -6/5 × 1/1 = -6/5
Les solutions de l'équation sont donc x ∈ {-6/5 ; 0}
b) 3x² - 2x - 5 = 0 admet comme racine évidente -1
car 3(-1)² - 2(-1) - 5 = 3 + 2 - 5 = 0
et comme deuxième racine 5/3
car c/a × 1/-1 = -5/3 × -1 = 5/3
Les solutions de l'équation sont donc x ∈ {-1 ; 5/3}
