1) Voir le graphique en pièce jointe
2) Les points extrêmaux de l'ensemble X sont :
A(0;2) , B(0;3) , D(4;3) , C(2/3;4/3)
3) a) Soit E=Min {-x1-x2 / x=(x1,x2) ∈ X}
alors E est la droite (AC) d'équation : x1+x2=2
le Minimum vaut alors -2
b) Soit F=Max {-x1+x2 / x=(x1,x2) ∈ X}
alors F est le point B de coordonnées (0;3)
le Maximum vaut alors 3
4) On applique la méthode du simplexe pour optimiser les contraintes :
soit x=(x1,x2,x3,x4,x5,x6) ∈ IR^6
soit b=(0,3,2,1) ∈ IR^4
on a : X'= {x ∈ IR^6 / H.x=b et x ≥ 0}
La matrice H ∈ M(4,6) (IR) est définie par :
( 1 0 1 0 0 0 )
( 0 3 0 1 0 0 )
( 1 1 0 0 1 0 )
(-1/2 1 0 0 0 1 )
X' est ainsi une variété affine de IR^6 car le sous-espace affine est muni d'une structure d'espace vectoriel sur IR^6
la dimension de X' est : dim(X')=4
