Sagot :
ABC est un triangle, a, b et c désignent respectivement les longueurs [BC], [AC] et [AB].
On note p=(a+b+c)/2 son demi périmètre et S son aire.
Exprimer 4b²c²sin²BAC en fonction de a, b et c.
AB=c ; AC=b ; BC=a
d'apres la formule d'Al-Kâshi : a²=b²+c²-2bc*cos(A)
d'apres la formule de Héron d'Alexandrie : S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))
d'apres la formule des Sinus sin(A)/a=sin(B)/b=sin(C)/c=(2S)/(abc)
donc 2bc*cos(A)=a²-b²-c²
donc (2bc*cos(A))²=(a²-b²-c²)²
donc 4b²c²*cos²(A)=(a²-b²-c²)²
donc 4b²c²*(1-sin²(A))=(a²-b²-c²)²
donc 4b²c²-4b²c²*sin²(A))=(a²-b²-c²)²
donc -4b²c²*sin²(A)=(a²-b²-c²)²-4b²c²
donc 4b²c²*sin²(A)=4b²c²-(a²-b²-c²)²
=4b²c²-(a^4+b^4+c^4-2a²b²-2a²c²+2b²c²)
=2a²b²+2b²c²+2a²c²-a^4-b^4-c^4
=(a²+b²+c²)²-2(a^4+b^4+c^4)
