Bonjour,
1)
On applique les identités remarquables :
(a-b)² = a²-2ab+b²
a)[tex]B^2 = \left(\sqrt 3 -1\right)^2 = \left(\sqrt 3\right)^2-2\times 1 \times \sqrt 3 +1^2\\ B^2 = 3-2\sqrt 3 +1 = 4-2\sqrt 3[/tex]
(a+b)²=a²+2ab+b²
[tex]C^2 = \left(\sqrt 3 +1\right)^2\\ C^2 = \left(\sqrt 3\right)^2+2\times 1 \times \sqrt 3+1^2\\ C^2 = 3+2\sqrt 3 +1 = 4+2\sqrt 3[/tex]
b)(a-b)(a+b)=a²-b²
[tex]B\times C = \left(\sqrt 3 -1\right)\left(\sqrt 3 +1\right)\\ B\times C = \left(\sqrt 3 \right)^2-1^2= 3-1 = 2[/tex]
2)Le triangle KLM est rectangle en L, donc, d'après le théorème de Pythagore :
[tex]KM^2 = KL^2+LM^2\\ KM^2 = \left(\sqrt 3 -1\right)^2 + \left(\sqrt 3 +1\right)^2\\ KM^2 = 4-2\sqrt 3 +4+2\sqrt 3 = 4+4 = 8\\ KM = \sqrt 8 = \sqrt{2\times 4} = 2\sqrt 2[/tex]
Le triangle KLM est rectangle en L, donc (LM) est la hauteur relative au côté (KL).
L'aire du triangle KLM s'écrit donc :
[tex]\frac{KL \times LM}{2} = \frac{\left(\sqrt 3 -1\right)\left(\sqrt 3 +1\right)}{2} = \frac{\left(\sqrt 3\riight)^2-1^2}{2} = \frac{3-1}{2} = \frac 22 = 1[/tex]
