bonjour,
merci de bien vouloir m'aider sur cet exercice de niveau ES
on note Po la population initiale de libellules et Pn la population au bout de n années.Des etudes ont permis de modeliser l'evolution de cette population par la relation (R) ci dessous.
Pour tout entier naturel n , on a :
Pn+2-Pn+1=1/2(Pn+1-Pn) (R)
on suppose que Po=40 000 en P1=60 000
On definit l'accroisement de la population pendant la premiere année par la difference Pn-Pn+1
1/Calculer l'accroisement de la population pendant la premiere année , la deuxieme année et la troisiéme année
en deduire P2 et P3
2/On considère les suites (Un) et (Vn) définies pour tout entier naturel n par :
Un=Pn+1-Pn et Vn=Pn+1-1/2Pn
a/Prouver que la suite (Un) est geometrique , preciser sa raison et son premier terme
Exprimer Un en fonction de n
b/En untilisant la relation (R) , calculer Vn+1-Vn
Que peut on en deduire pour la suite (Vn) ?
c/A l'aide de la question precedente démontrer que , pour tout entier naturel on a :
Vn=P1-1/2Po
en deduire Vn
d/Demontrer que pour tout entier naturel n , on a :
Pn=2(Vn-Un)
En deduire l'expression de Pn en fonction de n
On definit l'accroisement de la population pendant la premiere année par la difference P1-P0
1/Calculer l'accroisement de la population pendant la premiere année : 20000
la deuxieme année : P2-P1=(1/2)20000=10000
et la troisiéme année : P3-P2=(1/2)10000=5000
en deduire P2 : P1+1000 soit 70000 et P3 : P2+5000=75000
2/a/ Un est géométrique de raison 1/2 par définition et U0=2000 donc Un=20000*(1/2)^n
b/ Vn+1=Pn+2-(1/2)Pn+1
Vn=Pn+1-(1/2)Pn
donc Vn+1-Vn=(1/2)(Pn+1-Pn)-(1/2)(Pn+1-Pn)=0 Vn est uen suite CONSTANTE
c/ Vn = V0 =P1-P0/2 a pour valeur 40000
d/ comme Un=20000*(1/2)^n et Vn=40000 on a Pn=80000-40000(1/2)^n