x est un nombre positif compris entre 0et10, les longeures sont exprimées en cm et les aires en cm². La figure ci contre n'est pas en vraie grandeure. (LA FIGURE EST UN TRIANGLE ET SUR LE COTE AC IL Y A MARQUE : x+7. SUR LE COTE CB: 5 ET SUR LE COTE AB x+8)
Il s'agit de savoir s'il existe une valeure de x pour laquelle ABC est un triangle réctangle.
1) Quel est dans tout les cas le plus qrand cote ? En deduire l'eventuelle coté de l'angle.
2) a) Calcule AB et AC lorsque x=4
b) Lorsque x=4, ABC est il un triangle rectangle?
3) Developper et deduire (x+7)² et (x+8)²
4) En deduire : AB²-AC²=2x+15
5)Poue quelle valeur de x le triangle ABC est il rectangle ?
1) x est un nombre positif, donc supérieur ou égal à 0.
Si x=0 (en remplaçant dans x+8 et x+7), AB=8, AC=7 et BC=5. Donc dans tous les cas,
[AB] est le plus grand côté.
Si angle droit il y a, c'est l'angle opposé à l'hypothénuse (le plus grand côté), donc l'angle
droit sera ACB (ne pas oublier le "chapeau" sur le C : ^).
2) a) Il suffit de remplacer x par 4 dans les expressions "x+8" et "x+7".
Donc AB=4+8=12 et AC=4+7=11.
b) D'après la réciproque de Pythagore : si le triangle est rectangle, AB²=AC²+BC². Il faut
donc le vérifier :
AB²=(4+8)²=12²=144
AC²+BC²=(4+7)²+5²=11²+25=121+25=146
AB² n'est pas égal à AC²+BC², donc pour x=4, ABC n'est pas un triangle rectangle.
3) On utilise les formules du calcul littéral : (a+b)²=a²+2ab+b²
(x+7)²=x²+2*x*7+7²=x²+14x+49
(x+8)²=x²+2*x*8+8²=x²+16x+64
4) On reprend ce qu'on a vu à la question 3) :
AB²-AC²= (x+8)²-(x+7)²=x²+16x+64 - (x²+14x+49)=x²+16x+64-x²-14x-49=2x+15
5) On reprend l'égalité de pythagore avec ce qu'on a vu à la question 4) :
AB²=AC²+BC² donc AB²-AC²=BC²
2x+15 = 25
2x+15 -15 = 25 -15
2x = 10
2x/2 = 10/2
x = 5
Pour x=5, ABC est un triangle rectangle.